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O000
2つの2次方程式 2x°+kx+4=0, x+x+k=0 がただ1つの共通の実数解を、
注意 上の解答では, 共通解x=αをもつと仮定してαやkの値を求めているから, 求め
た値に対して,実際に共通解をもつか, または問題の条件を満たすかどうかを確認
共通解としてもつっとき, 実数の定数kの値はア]であり, そのときの共通解は
2つの2次方程式x+6x+12k-24=0, x*+(k+3)x+12=0がただ1つの実数を
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重要例題99 2次方程式の共通解
基本!
つように定数kの値を定め,その共通解を求めよ。
指針>2つの方程式に共通 な解の問題であるから, 一方の方程式の解を求めることができた。
その解を他方に代入することによって, 定数の値を求めることができる。しかし、傾。
方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では, 次の解法が一般的である。
2+4-0 2つの方程式の共通解をr=αとおいて, それぞれの方程式に代入 すると
力。
2+ka+4=0 … 0.
α+α+k=0
2
a2-これをa, kについての 連立方程式とみて解く。
2から導かれるk=-α'-aを①に代入 (kを消去)してもよいが, 3次方程式となって
数学Iの範囲では解けない。この問題では,最高次の項である α の項を消去することを
考える。なお,共通の 「実数解」 という 問題の条件に注意。
CHART
方程式の共通解 共通解をx=α とおく
解答
池加。共通解をx=aとおいて, 方程式にそれぞれ代入すると
の,
(k-2)α+4-2k=0
(k-2)(α-2)=0
k=2 または α=2
2c+ka+4=0
-②×2から
Q2+a+k=0 2
してks。
(の項を消去。この考え
方ば、連立1次方程式を加
減法で解くことに似ている。
ゆえに
(法も
命るかと)
よって
[1] k=2のとき
2つの方程式はともにx°+x+2=0 となり,この方程式の判 数学Iの範囲では,
別式をDとすると
D<0であるから,この方程式は実数解をもたない。
ゆえに,2つの方程式は共通の実数解をもたない。
[2] α=2のとき
D=1°-4·1-2=-7
x*+x+2=0 の解を求める
ことはできない。
2+2+k=0
k=-6
2から
このとき, 2つの方程式は 2x°-6x+4=0, x°+x-6=0
すなわち 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 となり、
よって
4a=2をOに代入してもよ
い。
解はそれぞれ
x=1, 2;
x=2, -3
よって,2つの方程式はただ1つの共通の実数解 x=2 をも
つ。
以上から
k=-6, 共通解は x=2
しなければならない。
練習
990
である。
[類中京大)(p.160 EX74,
