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EX x, y, z は実数とする。
③43
(1) 次の2つの等式が常に成り立つとき,定数 α, β の値を求めよ。
(x+y+z)³=x³+y²+z³+a(x+y)(y+z)(z+x),
(x+y)(y+z) (z+x)=(x+y+z) (xy+yz+zx)+βxyz
(2) x+y+z=0, xy+yz+2x=-
55
19
6 -xyz=
2
であるとき, x+y+z=k とおくと は3
次方程式 2k3 k+57=0 を満たす。kの値と.x=3のときのy, zの値を求めよ。
[類 関西大 ]
(1) (x+y+z)³=x³+y³+z³+a(x+y)(y+z)(z+x)
(x+y)(y+z) (z+x)=(x+y+z) (xy+yz+zx)+βxyz
とする。 ① の両辺に x=y=z=1 を代入すると
3=1+1+1+α・2・2・2
よって
ゆえに
a=3
逆に, α=3のとき ① は成り立つ。
また、②の両辺にx=y=z=1 を代入すると
2・2・23・3+β・1
β=-1
よって
逆に, β=-1のとき ② は成り立つ。
したがって
α=3, β=-1
(2) (1) の結果と与えられた条件から
=x3+y3+23+3{(x+y+z) (xy+yz+zx)-xyz}
=x3+y3+23+3k (xy+yz+zx)-3xyz
= 0+3k-(-55)-3.19
よって, kは2k3 +55k+57=0
･････ ③ を満たす。
2(-1)+55(-1)+57=0であるから, ③ より
(k+1)(2k²-2k+57)=0
ゆえに
k+1=0
2k2-2k+57=0 の判別式をDとすると
k3=(x+y+z)=x^3+y^+23+3(x+y)(y+z) (z+x)
よって, 2k2-2k+57=0 は実数解をもたない。
ん は実数であるから
k=-1
ゆえに x+y+z=-1
x=3のとき
したがって
または 2k²-2k+57=0
D=(-1)-2・57=-113 すなわち D<0
1=
y+z=2, yz=
y=
ゆえに,y,zは2次方程式t2-2t=0 すなわち
19
6
6t2-12t-19=0の2つの解である。 この方程式を解いて
−(−6) ± √(-6)²-6•(-19) _ 6±5√6
=
6
6
******
27=3+8a
6±5√6
6
19
6
Z=
675√6
6
①,
(複号同順)
←数値代入法が早い。
←逆の確認。
←逆の確認。
←α=3,β=-1 を代入。
=-55k-57
←k³=-
←因数定理。
2055
57
-2 2-57
2-2 57
X3
0
←-3+y+z=-1,
-3-yz = 19
+1=6± √/150
←=
6
