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題)
(1) f(z)>0を示せ .
(2) g(x)
I
g'(x)
|g"(x)
g(x)
x>1においてf(z)=√x-logs,
(3)(4) g(x)=-
g″(x)=-³
818
(3) g'(x), g'(x) を計算し,g(x)の極値, 変曲点の座標を求めよ.
(4) 関数y=g(x)のグラフをかけ.
1
x x
解答量
(1) f'(x)=
I
f'(x)
よって、増減は右のようでf(x)はx=4で最小となり, f(x)
f(x) (4)=2-log 4=2(1-log 2) >0 (∵2<e)
I >√x
log x
(2) g(x)>√x を変形する。
と同値で,①を示せばよいが,これは (1) により成り立つ.
g(x) >√x €, √x→∞ (x→∞) CħZA¹5, limg(x)=∞
×
IC
xk
lim
logx
818 mk
-=0 (a>1, k>0)
x-a
「α² から見たから見た log x は、無視できるほ
ど小さい」という感覚が大切で, 証明を要求されていないときは,表題の極限値は既知として扱ってよ
いだろう.次のイメージをもっておこう (1<a<e<bとする)
......, log x,....... √x, x, x2......., a², ex, bx,
弱
...
1
1
2√x IC
-+
| __logx-2 (logx-1)
x(log x)³_-
4
= 0, lim
2-logx
x (log x)³
よって, y=g(x) の増減凹凸は下表のようにな
り, limg(x)=8, limg(x) = ∞と合わせ, グラ
x→1
フは右のようになる. 極値はg (e) = e.
e²
6 グラフ / 指数・対数がらみー
1·log x-x.1
(log x)²
1
1
(log x)² - (log x-1) 2 (log x).-
IC
(log x)4
x18
e
X
のとき,g'(x)=-
log x
0
+
limg(x)=∞ を示せ.
を示せ.これを用いて
...
++
√x-2
2.x
>
−log.x, g(x)=-
0+
=
I
log x
+
-
(
logx>0
により、√x
x-8
とするとき次の問いに答えよ.
IC
1+01
YA
e2
2
e
1
0 1
...
V
強
4
0 +
e
変曲点
...
log x-1
(log x)²() mil
1
2/2
(x480)
2130
DS-(a+wa
(佐賀大・理工)
最小値>0を示せばよい.
+ g(x)=>√x →∞
88
log
e² x
log2<loge=1
変曲点の座標はグラフに描いた.
