-
![]()
12
2012年度 文系 〔3〕
以下の間に答えよ。
(1) 正の実数xyに対して
+2
x y
~(
が成り立つことを示し, 等号が成立するための条件を求めよ。
(2)nを自然数とする。 個の正の実数 α1, ..., am に対して
(a)+ … +α)
・+・・・+
B
が成り立つことを示し,等号が成立するための条件を求めよ。
ポイント (1) 〔解法2] のように (左辺) (右辺) を計算してもよいが, 〔解法 1〕の
ように相加平均と相乗平均の関係を用いるのが自然である。
(2) 左辺を展開すれば, (1)が利用できる組が多く現れるので,その個数を確認すればよ
い。
a-1
1 +
a.
an an
an
an
+
+
+
+ 1
a1 a2
a3
an-1
a
a2
+
ai
a-1
an
+
+
=
+n
α2 a
a3 a
an
an-1
ここで,
arai
+
ai ak
a
(1≦k<l≦n) の形の項はC2個あり>0.0なので (1) より
+z2 (等号成立は のとき)
a ak
したがって
n(n-1)
(左辺) ≧2m C2+n=2.
+n=n²
2
また, n=1のとき, (左辺) =α・
a1
1=1, (右辺)=12=1で等号が成り立つ。
以上より
(a+…+a)
+...+
1) ≥n²
(証明終)
等号成立の条件は,n=1のときは任意の正の実数, n≧2 のとき, すべてのk.I
について, a=a が成り立つ場合なので
a
a2
an
......
a1= a2= = an
(
1 1
〔注〕 (2) (α+α+ … +α)
+ + ··· +
\aa2
(+
の展開に
(証明終)
ついては,右のような表を考えれば対角線上に1が並び、
対角線に関して対称な位置にある2つの数を組合せれば
よいことに気づくだろう。
11.
Q2
a
1
a₁
(1
1
a2
Q2
解法 1
(1)x0,y>0より10.50なので,相加平均と相乗平均の関係より
2x
+22
すなわち +522
x y x y
xy
等号成立は,=のときなのでx=y2
xy
x>0,y>0より,x=yのときである。 ……(答)
2) n≧2のとき
(a1+a2+…+an)
+ +・・・+
a
a2
an
a1 a1
a1
= 1 + + +
+
a2 a3
am
a2
a2
a2
+- +1+
+
+
a1
a3
an
a3 a3
a3
+ +
+ 1 +
+
a2
an
解法 2
11
a
Q2
an
an am
1
(1)
2+1-2=
x²-2x+y2(x-y)^
-≥0 (x>0, y>0)
xy
xy
xy
(証明終)
ゆえに
xy
等号成立は,x-y=0 すなわちx=yのとき
/
