例題8-2 ベルヌーイの微分方程式:y′+p(x)y=f(x)y")
微分方程式 y/+y=xy3 について, 以下の問いに答えよ。
(1) z=y-2 とおくとき, zが満たすべき微分方程式を求めよ。
(2) 微分方程式 y'+y=xy の一般解を求めよ。
「解説 ベルヌーイの微分方程式:y'+p(x)y=f(x)y" (m=2,3,…) は
1階線形微分方程式の応用である。z=y' -" の置き換えにより, 1階線形微分
方程式になる。
1
[解答](1)z=y-2 より, z'=-2xy-y′ :: y³y'=== Z'
2
さて,y'+y=xy の両辺をy で割ると, y_y'+y^2=x
-z'+z=x よって, z'-2z=-2x ･･ 〔答〕 1階線形になった!
(2) ²'2z=0 とすると,
‥. A(x)=(2x
dz
dx
=(x-2
= 2z
両辺をxで積分すると, fzzdz=f2dx
... log|z|=2x+C z=Ae²x
そこで, z=A(x) e2x とすると,
z'=A'(x)e2x+2zより, z'-2z=A'(x)e2x
よって,²'-2z=-2x の一般解を z = A(x)ex とすれば,
A'(x)ex=-2x ∴.. A'(x)=-2xe-2x
-2xe-2x)dx=xe-2x+
₂-2x
+ 1² e ²³² + c) e ²¹ = x + 1²/² + ₁
e²x
Cezx
よって、12/20a-s+/1/2+c^
よって, z=xe
1
2
1 dz
z dx
e
z=y^2=1/1/12より、(x+12+Ce²)y=1
,2
=2
- 2x + C
･･･ 〔答〕 このままの形でよい。
