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150
基本 例題 89 2変数関数の
(1) 2x+y=3のとき,2x'+y2の最小値を求めよ。
(2)x0,y, 2x+y=8 のとき, xyの最大値と最小値を求めよ。
指針 (1)の2x+y=3, (2) の2x+y=8のような問題の前提となる式を条件式と
条件式がある問題では,文字を消去する方針で進めるとよい。
(1) 条件式2x+y=3から
y=-2x+3
これを2x2+yに代入する
2x2+(-2x+3)"となり, yが消えて 1変数 xの2次式になる。
→基本形α(x-p)+αに直す方針で解決!
(2)条件式からy=-2x+8として」を消去する。 ただし、次の点に要注意
消去する文字の条件 (y≧0) を,残る文字(x) の条件におき換え
CHART 条件式 文字を減らす方針で
(1)
2x+y=3から
解答
y=-2x+3 ...... ①
2x2+y2に代入して, y を消去すると
2x2+y2=2x2+(-2x+3)2
=6x2-12x+9
=6(x²-2x)+9
学の知識
■考える力
例題ページ(
針をどのよ
問題の解き
法にたどり
えることで,
したがって
(2) 2x+y=8から
y≧0であるから
=6(x²-2x+12)6・12+9
=6(x-1)'+3
よって, x=1で最小値3をとる。
このとき, ①から
y=-2・1+3=1
x=1, y=1のとき最小値3
y=-2x+8
-2x+8≧0
......
①
変域に注意
Myを消去
として、を
分数が出てく
入後の計算
000+x
重要
(1)x,
(2)x,
t=6(x-1
は下に凸で
実数全体
解
(x,y)=(1
に表すことも
ゆえに
x≤4
....
②
なお,
指針
タブ
どこでも
⑤ エスビューア
書をタブレット
いつでも、ど
デジタルなら
x≧0との共通範囲は 0≤x≤4
また
xy=x(-2x+8)=-2x+8x 銀三
=-2(x2-4x)
=-2(x2-4x+22 +2・22
=-2(x-2)2+8
② の範囲において, xyはx=2で最大値8をとり
x = 0, 4で最小値0 をとる。
①から x=2のとき y=4, x=0のとき y=8,
x=4のとき y=0
ゆ
よって (x,y)=(2,4)のとき最大値8
xy=t とおいた
0t=-2(x-2+
のグラフ
ta
最大
148F
最小
01
(x,y)=(0,8), (40) のとき最小値 0
練習 (1) 3x-y=2のとき,2x2-y2の最大値を求めよ。
③ 89 (2)x0,y≧0, x+2y=1のとき, x2+y2の最大値と最小値を
