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目標
2 いろいろな数列
(57)
B1-39
Think
例題 B1.26 いろいろな数列の和 (1)
****
自然数 1, 2, ···...,nについて,この中から異なる2つの自然数を選び,
その積を計算する.このようにしてできる積の総和S" を求めよ.
第1章
[考え方
たとえば、3つの数a, b, c で考えてみると,
T=ab+bc+ca が求める積の総和である。
右の表より.
a
bc
1
2
3 n
a
1
2
3n
b
2
2
6. 2n
(a+b+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca)
=d+b+c+2T
C
3 3 6
...3n
つまり、T=1/2(a+b+c)-(a+b+c)}となる。
nn 2n3n...
wwww
www
解答
この考え方を1, 2, 3, .......,nについて用いる.
S„= (1×2+1×3+......+1×n) + (2×3+2×4+ ......+2×n) +....+(n-1)×n
(上の表の部分の和になって
3つの数a, b, c の場合と同様に考えると,
( 1+2+3+ ...... +n)=(12+2+3+......+n) +2S であることがわかる.
(1+2+3+... +n)=(12+2+3+... +m²)+2S より
S=1/12 {(1+2+3+…+m)-(1°+2°+3°+…+m)}
考え方を参照
n(n+1)
1)n(n+1)(2n+1)
1
24
2n(n+1){3n(n+1)-2(2n+1)}
1 (n-1)n(n+1)(3n+2)
24
1
12'
1zn(n+1) で
くくる.
注〉 自然数 1, 2, n に関して,この中の自然数んとその他の自然数との積の和は,
k(1+2+......+n)k と表せる.
これを用いると,2×S,=Σ{k(1+2++nk} となる.
注
P=(x+1)(x+2) (x+......(x+n) の展開式は
このとき x" の係数は1,
次式となる.
"の係数は1+2+ ...... +n=- 1/2m(n+1)
となる.
では,x" -2の係数はどのようにして求めればよいだろうか.
Pを展開する際に, (x+1), (x+2) (x+3), ...... (x+n) のn個の (
2個の
)から数字を, 残り (n-2) 個の (
-2の項を作ることができる.
)について,
)からxを選んで積を求めれば,
したがって,x" -2の係数の総和は、例題 B1.26 と同様に考えればよい.
つまり、x-2の係数は
1
24
(n-1)n(n+1)(3n+2) となる.
東習
数列 1, 3, 5, 2n-1 について この中から異なる2項を選び、その積を
1.26 計算する。 このようにしてできる積の総和 S, を求めよ.
2*
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