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基本 例題 96
2次方程式の解
の範囲を求めよ。
3次方程式(1)x+a+2=0が次のような解をもつとき、
(2)正の解と負の解
(1) 異なる2つの正の解
p.146
定数々の
基本事項
UP
CHART&SOLUTION
2次方程式の解と0 との大小グラフをイメージ┣
D 軸, f (0) の符号に着目
方程式(x) = 0 の実数解は, y=f(x) のグラフとx軸の共有点のx座標で表される。
f(x)=x(a-1)x+α+2 とすると, y=f(x) のグラフは下に凸の放物線である。
(1) D>0, (軸の位置)> 0, f(0)>0
(2) f(0) <0
を満たすようなαの値の範囲を求める。 なお, (2) で D>0 を示す必要はない。
下に凸の放物線が負の値をとるとき, 必然的にx軸と異なる2点で交わる。
解答
f(x)=x^2-(a-1)x+a+2 とするとー(x)のグラフは
a-1
a
下に凸の放物線で, その軸は直線 x=
である
2
◆軸はx=-- -(a-1)
2-1
(1) 方程式 f(x) = 0 が異なる2つの正の解をもつための条 (1) y (
件は,y=f(x) のグラフがx軸の正の部分と, 異なる2点
f(0)
で交わることである。 よって, f(x)=0 の判別式をDとす
ると、次のことが同時に成り立つ。
[1] D > 0 [2] 軸が x>0 の範囲にある
[3] f(0)>0 posts) Onc
+
0
まず,条件
方程式の解を
グラフ
2点は
の2つとなる
問題にとりか
すグラフをか
次に、グラ
[1] D>
[2]
軸が
[3] f(0]
これらをす
しまい, 間
<[1], [2]
[3] を満
つまり
y
[1] D={-(a-1)}2-4・1・(a+2)=α-64-7-
=(a+1)(a-7) D>0 から (a+1)(α-7)>05
a<-1,7<a
よって
[2]>0から
a>1
......
2
-1-
[3] f(0)=a+2 f(0) > 0 から
a+2>0-2-1
よって a>-2
(3)
# (2)
① ② ③ の共通範囲を求めて
a>7
3
f(0)
軸の負
x=0 で
(2) 方程式 f(x)=0 が正の解と負の解をもつための条件は
y=f(x)のグラフがx軸の正の部分と負の部分で交わる
ことであるから f(0) <0
よって
a+2<0
PRACTICE 96
したがって
a<-2
f(0)
O
実数を係数とする2次方程式 x2-2ax+α+6=0 が,次の条件を満たすとき、定数
の値の範囲を求めよ。
(1) 正の解と負の解をもつ。
食類 鳥取
(2)異なる2つの負の解をもつ。
f(0) <
f(0) <0
このとき
異なる 2
もよい。
f(0) <0
軸の条件
