21 辺の長さの変化と三角比
(1) BC=2√/3 のとき、 △ABCにおいて, 余弦定理により
(2√3)=AB2+4²-2・AB・4cos60°
AB-4AB+4=0
(AB-2)² = 0
よって AB = '2
この
AB+BC" = ACA
が成り立つから、△ABCは∠B=90°の直角三角形 (①) である。1
(ii) BC=4 のとき, AC=BC=4 であるから △ABCは∠Cを頂角
とする二等辺三角形である。 よって, 底角は等しく∠A=∠B=60°
である。このとき, ∠C=180° ∠A-∠B=60° である。 △ABC
はすべての内角が 60° であるから, AB=BC=CA=4 の正三角
形 (⑩) である。
( BC=2√3 のときと, BC4 のときを図示すると図1のように
なる。 BCの長さをaとする。 2√3より大きく4より小さい値を考え,
点Cを中心として半径aの円をかくと, 図2のように直線ℓと2点
で交わり、このとき, 合同でない △ABCが2つ存在する (△AB,C,
△ABC)。
0<a<2√3 となる △ABC は存在せず,a>4となる△ABCは
ただ1つだけ存在するから,2√3 <a < 4 を満たす値を考え,
BC=√15 (②) が適当である。
図1
60°
2√3
x
sin ∠B
よって ∠ABC=180°∠ABC
したがって
AC
BC
sin ZB sin ZA
4
B
A B
B2
図2において, △CB1 B2 は CB1 = CB2 の二等辺三角形であるから
∠CB1 B2=∠CB2 B1
(2) △ABCにおいて, 正弦定理により
7
sin 40°
よって sin <B=
B
sin∠ABC = sin (180°∠AB2C) = sin ∠AB2C (①)
cos∠ABC=cos (180° AB2C) =-cos∠AB2C (③)
Point
図2
sin 40°
7
x
C
2√3
37
←B
C
A
2²+2√3)=4' である。
AB: AC:BC=1:2:√3 である
ことからも, 直角三角形である
ことがわかる。
ingr
B
(C
図形と計量
sin (180°-0) = sin0
cos (180°-0) = -cos (
