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基本例 26 分数の数列の和の応用
次の数列の和S を求めよ。
1
1
000
1
1
1
(1)
1-2-3 2-3-4 3-4-5*
1
(2)
指針
1+√3 √2+√4 √3+√5
9
① 第k項を差の形で表す。
n(n+1)(n+2)
1
√n + √n+2
(n≥2)
2で作った式にk=1, 2, 3, n
[3] 辺々を加えると、隣り合う項が消える。
(1) 基本例題 25 と方針は同じ。 まず, 第k項を部分分数に分解する。 分母
3つのときは、解答のように2つずつ組み合わせる。
1
k(k+1)
よって
1
(k+1)(k+2)
2
を計算すると
=
k(k+1)(k+2)
==
1
*(k+1)(k+2) = {k(k+1) ¯ (k+1)(k+2))
(2)第項の分母を有理化すると,差の形で表される。
k(k+1) - (k+1)(k+2)}
(1) 第項は
1
解答
k(k+1)(k+2)
1/1(+1)
であるから
s = ½ -|(1½-2 − 2 - 3 ) + ( 2 - 3 − 3-4)+(3-4-3-3)
S=(-2-
=
++
部分分数に
途中が消え
4.5/
だけが残る
+(n+1)(n+1)(n+2)}}(
12/11/12(n+1)(x+2)}
1 (n+1)(n+2)-2 n(n+3)
22(n+1)(n+2)
(2)第ん項は
1
=
検討
次の変形はよ
1
k(k+1)(
1
4(n+1)(n+2)/2/16 (6)
√k-√k+2
√k+√k+2 (k+√k+2) (√k-√k+2)
=1/12 (√k+2-√k)であるから
S=1/2/((-1)+(2-√2)+(-)
+....+(√n+1-√n-1)+(√n+2 -\n)}
2lk(k+1
分母の有
NK-JK2
Jet Jez
途中の
±√5,
=
1/12 (√n+1+√n+2-1-√2)
