-
![]()
210
第7章 数
列
基礎問
135 場合の数と漸化式
6/5
(1)5段の階段があり, 1回に1段または2段
登るとする. このとき, 登り方は何通りある
か. ただし, スタート地点は0段目とよぶこ
とにする. (右図参照)
(2)(1) と同じようにn段の階段を登る方法が
an通りあるとする. このとき,
(ア) α1, a2 を求めよ.
(イ) n≧1 のとき, an+2 を αn+1, an で表せ.
◎(ウ) αg を求めよ.
[N
139
211
(イ) 1回の登り方に着目して (n+2) 段の階段を登る方法を考えると次
の2つの場合がある.
star
① 最初に1段登って, 残り (n+1)段登る
② 最初に2段登って, 残りn段登る
① ②は排反で (n+1) 段登る方法, n段登る方法はそれぞれ
舎の事象がすまたま、他方の事象
起きまない状態
an+1 通り, an通りあるので、
an+2=an+1+an
an+2=an+1+an
(ウ)(イ)より,
([+a)o=
mi
平
=246+α5=2(astq4)+as
精講
(1) まず, 1段,2段, 2段と登る方法と2段, 1段, 2段と登る
方法は,異なる登り方であることをわかることが基本です. 次に、
1段を使う方法は5が奇数であることから1回,3回, 5回のどれかです.
そこで、1と2をいくつか使って, 和が5になる組合せを考えて,そのあと
入れかえを考えればよいことになります.
(2)(イ)これがこの135のメインテーマで, 漸化式の有効な利用例です. 考え
方は,ポイントに書いてあるどちらかになります. この問題では, どちらで
も漸化式が作れます.
(ウ)漸化式が与えられたとき,一般項を求められることは大切ですが, 漸化
式の使い方の基本は番号を下げることです.
as=a+a6 (α6+α5)+a6
参考
m
=3a5+2a=3(α+α3) +2a4
=5a4+3a3=5(a3+α2) +3as
=8a3+5a2=8(a₂+a1)+5a2 10219
13+84=13×2+8×1=34 (通り)
IA 91
ポイント
I. (ウ)の要領で α5 を求めると, αs=3a2+2a1=3×2+2=8
(通り)となり,(1)の答と一致します。
Ⅱ. 最後の手段に着目するときは,次の2つの場合となります.
① まず (n+1) 段登って、最後に1段登る
② まずn段登って、最後に2段登る
ポイント
場合の数の問題で漸化式を作るとき,次のどちらか
① 最初の手段で場合分け ② 最後の手段で場合分け
第7章
解答
(1)5段の階段を登るとき, 1段登ることは奇数回必要だから,
1段を1回使う組合せは, 1段, 2段, 2段
3回使う組合せは, 1段, 1段, 1段2段
5回使う組合せは、 1段, 1段, 1段1段, 1段で
演習問題 135
横1列に並べられたn枚のカードに赤か青か黄のどれか1つの
それぞれ,入れかえが3通り, 4通り、1通りあるので
3+4+1=8 (通り) (12,2)(2112)(2.2.1) (11.1.1)
(2) (ア) 1段登る方法は1つしかないので, a=1
2段登る方法は,1段, 1段と, 2段の2通りあるので, a2=2
色をぬる. 赤が連続してはいけないという条件の下で,ぬり方が
an 通りあるとする.
(1) α1, 42 を求めよ.
(2)n≧1 のとき, an+2 を an+1, an で表せ.
(3) αg を求めよ.
