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基本 例題 156 第2次導関数と等式
(1) y=log(1+cosx) のとき, 等式 y"+2e-1=0 を証明せよ。
|(2) y=ezsinxに
267
00000
に対して,y"=ay+by' となるような定数a,bの値を求めよ。
[(1) 信州大, (2) 駒澤大]
基本 155
指針第2次導関数y” を求めるには,まず導関数y' を求める。 また, 1), (2) の等式はともに
解答
x
の恒等式である。
(1) y” を求めて証明したい式の左辺に代入する。
また,er をxで表すには, 等式 elog = pを利用する。
(2) y, y” を求めて与式に代入し、 数値代入法を用いる。
y=2log(1+cosx) であるから
(1+cosx). 2sinx
y'=2.
1+cosx
よって
y"=-
1+cost
2{cosx(1+cosx)−sinx(−sinx)}
(1+cosxnia
2(1+cosx)
(1+cosx)
2
1+cosx
ex=1+cosx
また, // = log(1+cosx) であるから
2
log M = klogM
なお, -1≦cosx≦1と
(真数) > 0 から
1+cosx>0
sinx+cos2x=1
[0]
elogp=pを利用すると
elog(1+cosx)=1+cosx
5章
22
2 高次導関数関数のいろいろな表し方と導関数
ゆえに
よって
2e-= 2
2
y
1+cosx
e2
y"+2e-=--
2
+
2=0
1+cosx 1+cosx
(2) y=2e*sinx+ecosx=ex(2sinx+cosx)
y=2e2(2sinx+cosx)+e(2cosx−sinx)
=e2x(3sinx+4cosx)
ゆえに
......
ay+by'=aesinx+be2x(2sinx+cosx)
=e2x{(a+26)sinx+bcosx}
y=ay+by' に ①,②を代入して中
e2x
\(e2*)(2sinx+cosx)
1 | +e(2sinx+cosx) (S
(3sinx+4cosx)=e2x{(a+26)sinx+bcosx} ... ③
③はxの恒等式であるから, x=0 を代入して
4=b
参考 (2) y=ay+by' の
ように、未知の関数の導関数
を含む等式を微分方程式と
いう(詳しくは p.473 参照)。
③が恒等式⇒③にx=0,
また,x=を代入して 3e=e" (a+26)
これを解いて a=-5,6=4
このとき
2
を代入しても成り立つ。
(③の右辺)=ex{(-5+2・4)sinx+4cosx}=(③の左辺) 逆の確認。
したがって
a=-5, 6=4
係数を比較して、
a+26=3.
よって
4:6.
a:-5.
(1)y=log(x+√x+1)のとき,等式(x+10y+xy=0 を証明せよ。
156 (2)yee yayby=0を満たすとぎ 定数a,bの値を求めよ。
[(1) 首都大東京, (2) 大阪工大]
p.275 EX131~133
airy.
