重要 例題 67 二項定理と期待値
2枚の硬貨を同時に投げる試行をn回繰り返す。 k回目 (k≦n) に表の出た枚数
をXとし,確率変数 Z を Z = X1・X2・・・・・・・・ Xn で定める。
m=0,1,2,....
(1) m=0, 1,2, ......, n に対して, Z=2" となる確率を求めよ。
Zの期待値E(Z) を求めよ。
((2)
指針」
(1) Xn (1≦k≦n) のとりうる値は 0, 1,2であるから,乙のとりうる値は
0, 1,2,22, ....... 2n
Z=2" となるのは,n
(n-m) 回起こるときである。
(2) ()の計算過程でCmが現れるから、 二項定理(a+b)"=2,Cma" "b"
m=0)
(数学ⅡI)を利用して計算をする。
210
(1) Xx (1≦k≦n) のとりうる値は 0,1,2であり
解答
P(X=1)=C} 111+Xn=Y
=
2 2
回のうち表が2枚出ることがm回表が1枚出ることが
(2) Zのとりうる値は
よって (1) から
二項定理により
0
1
P(X₁ = 2) = ₂C₂ ( ¹² ) ² ( ₂² ) = ₁
2人
2/ 40
Z=2m (0≦m≦n) となるのは, n回の試行中,表が2枚
出ることが回、 表が1枚出ることが (n-m) 回起こ
るときであるから. 求める確率は
n
●
m/1 n-m
nCm( ²1 ) " ( ²2 ) ™-™
nCm
2n+m
21 Z=0, 1, 2, 2², ......, 2n
Z=0.
van
m=0 _
(X)o|p=27)
n
ed to 20
ゆえに, nCm=2" であるから
=
-
m=0
nCm
2m+n
-
(1+1)"= nCm" 17.1m
P(X₂=1)
2-1
X 1 = c( 1 ) ( ² ) ²
(Z=0,1,2)
[弘前大]
n
12mm
2 m=0
E(Z) = 2.2"=1
・2"=1
Z=2">0であるから,
Xk=0のときはない。
11/17はmに無関係であ
2"
るから、の前に出す。
72
(a+b)"=nCman-m
m=0
でa=b=1 とした。
2"ZED
515
2章
⑦7 確率変数と確率分布
