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重要 例題 211 導関数から関数決定 (2)
微分可能な関数 f(x) が f'(x)=ex-1| を満たし, f(1) = e であるとき, f(x)を
基本 210
求めよ。
指針▷>条件f'(x)=e*-1|から, f(x) = flex-1dx とすることはできな
い。 まず
x>0のとき f'(x)=ex-1
x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-x+1
x>0のときは, A と条件f(1) =e から f(x) が決まる。 しかし、
x<0のときは,条件f(1) =e が利用できない。
そこで,関数f(x)はx=0で微分可能
lim f(x)=lim f(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。
X-40
解答
x>0のとき, ex-1> 0 であるから f'(x)=ex-1
よって
f(1) = e であるから e=e-1+C
ゆえに C=1
したがって f(x)=ex-x+1
x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-ex+1
よって f(x)=f(-e*+1)dx
x→+0
x-0
f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (Cは積分定数)
X1-0
-ex+x+D (D は積分定数)
(2)
f(x)はx=0で微分可能であるから, x=0 で連続である。
ゆえに
limf(x) = lim f(x)=f(0)
phix
x→+0
x-0
①から
limf(x)=lim (ex-x+1)=2
②から
limf(x)=lim(-ex+x+D)=-1+D
よって
したがって
このとき, lim-
lim
ん→+0
場合に分けるから
絶対値
2=-1+D=f(0)
ex-1
x0 x
lim
h-0
x→+0
x-0
f(x)=-e*+x+3
=1から
ƒ(h)—ƒ(0)
h
ƒ(h)—ƒ(0)
h
=lim
ん→+0
A
ゆえに
=lim
h-0
D=3
eh-h-1=(
=0,
h
-e" +h+1
h
=0
よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。
e*-x+1 (x≥0)
以上から
f(x)={
−e³+x+3 (x<0)
y₁
(p.242 基本事項 ① ② ) に着目。
x=0で連続
10
(1)\=
+
y=ex-1
導関数f'(x) はその定義か
ら, x を含む開区間で扱う。
したがって, x>0,x<0の
区間で場合分けして考える。
x
f(x) は微分可能な関数。
6101
(lim (1-1)
h
必要条件。
逆の確認。 p. 257 も参照。
◄lim 1 { =(e^_-¹) + 1}
-(eh-1)
k-ol
ors
練習
211-1<x<1とする。 f(x)=|tan-x-11, f(0)=0 であるとき, f(x)を求めよ。
1
[2]
3
