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OO000
基本
例題24 比例式と式の値
導 *+y_y+z_2+x
6
xy+ yz +ax
x*+y°+z?
の値を求めよ。
(20)のとき,
5
7
b+c
c+a
a+b
のとき,この式の値を求めよ。
b
基本23
a
C
指針>条件の式は比例式であるから,
比例式は =k とおく の方針で進める。
x+y=5k, y+z=6k, z+x=7k
A
(1) =Dk とおくと
これらの左辺はx, y, zが循環した形の式であるから, ② の辺々を加えてみる。…7
すると,x+y+zをんで表すことができる。右下の検討参照。 (2) も同様。
解答
(1) リーナ-2tx
=k とおくと, kキ0で
7
検討
の~3の左辺は, x, y, zの
循環形(x→y→z→xとおくと
次の式が得られる)になって
いる。循環形の式は,辺々を
加えたり,引いたり すると、
処理しやすくなることが多い。
5
6
x+y=5k ……
O+2+3から
の, y+z=6k ………
(2,2+x=7k ……… 3
2(x+y+z)=18k
したがって
x+y+z=9k
の-2, O-3, ④-① から, それぞれ
ソ=2k,
6k°+8k°+12k
(3k)°+(2k)+(4k)
26k?
29k°
x=3k,
2=4k
xy+ yz+zx
x*+y?+z?
よって
4x:y:z=3:2:4から
3-2+2·4+4-3
3+2°+4°
と計算することもできる。
26
29
(2) 分母は0でないから
abcキ0
(abcキ0→ aキ0かつ
b+c
c+a
b
a+b
=k とおくと
6キ0かつcキ0
a
C
b+c=ak … 0, c+a==bk …………
2, a+b=ck … (3)
の+の+③ から
2(a+b+c)=(a+b+c)k
40の可能性があるから,
両辺をa+b+c で割って
よって
(a+b+c)(k-2)3D0
a+b+c=0 または k=D2
ゆえに
はいけない。
[1] a+b+c=0のとき
(*)を=2のとき, ①, ②か
ら b+c=2a, c+a=2b
この2式の辺々を引いて
b-a=2(a-b)
よって a=b
b+c=-a
b+c
k=
a
よって
-a
ニ=-1
a
[2] k=2のとき, ①-② からa=b" ②-③から b=c
よって,a=b=cが得られ,これは abcキ0 を満たすすべ
ての実数 a, b, cについて成り立つ。
[1], [2] から,求める式の値は
4(分母)キ0の確認。
-1, 2
