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2 円の方程式
181
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2円の位置関係
例 題 100
次の2円が接するように,定数aの値を定めよ。
x°+y°-2ax-6ay+40a-50=0 の
x?+y°-10=0
考え方
(i) 離れている
2つの円の半径をれ, ra, 2つの円の中心間の距離をdとすると, 2円の位置関係は,
() 2点で交わる
(i)外接する
(iv) 内接する
(v) 一方が他方
の内部にある
GO CO
Fd-
T」
d=n+ra
Inーral<d<r+な
d=lnーral
円のは,(x-a)?+(y-3a)?=D10(α°-4a+5) より,
中心(a, 3a), 半径V10(α-4a+5) の円であり, 円
2は中心(0, 0), 半径 V10 の円であるから, 2円の中
V+(3a)°-10a %3D10|a|
d>n+r2
d<n-ral
第3章
解答
く接する→(i)外接
(iv)内接
心間の距離は,
(ア) 外接する場合
V=lal
10(a-4a+5) +/10 =\10|a|
Va-4a+5=la|-1
外接する 一→ ntra=d
③ D円
両辺を10 で割る.さらに,
o 0-t両辺を2乗して, α"-4a+5=α°-2|a|+1 より,|移項して,左辺を、
の項だけにする.
lal=2a-2
a20 のとき, a=2a-2 より,
a=2 は3を満たす。
a (a20)
-a (a<0)
両辺を2乗したので, ③を
満たすか確認が必要
a=2
la-
a<0のとき,一a=2a-2より, a=
となり
M
wへ
不適、
2
a<0 に対して, a=-
3
wm
M
(<(イ)。内接する場合
内接する→nーral=d
次のように考えてもよい。
2円が接することから, ①,
2は1組の実数解をもつ
ー /10(α°-4a+5) -/10 |=V10|a|
V10(a-4a+5) -/10=±/10a
Va-4a+5=1土a
両辺を2乗して,
a-4a+5=1±2a+α°
x+y°=10
lax+3ay-20a+20=0…⑤
(0, 2よりx, y を消去)
…2
したがって,
aミー
3'
z=.2
a=
3
は④を満たし,a=2 は④を満たさない。
が1組の実数解をもつ
2
→6と原点の距離が、/10
よって,(ア), (イ)より, 求めるaの値は,
a=2,
3
Focus
2円の位置関係は, 中心間の距離と半径を考えよ
