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(1) yについての2次式9y°-12y+16-4kが完全平方式となるような
実数の定数kの値を求めよ。
(2) +xy-2y+ 4x+5y+k がx,yの1次式の積となるように定数
の値を定め,x, yの1次式の積の形で表せ。
完全平方式…(整式) の形で表すことができる整式
= (x+Oy+△)(x+ロy+▽)… (*)となってほしい。
(@Action 2次式の因数分解は,2次方程式の解を利用せよ
例題 35
1つの文字に着目
xに着目すると
=x°+(y+4)x-(2y°-5y-k)
xについての方程式
= 0
の解 x= [yの式」,yの式
= (x-[yの式)(x-[yの式)
と因数分解される。
→(*)のようになるのは, どのような解をもつときか?
解(1) 9y°-12y+16-4k = 0 の判別式を Dとすると,左辺 ay + by +cが完全平
が完全平方式となるための条件は
式となる。
→ ay+by+c=0
重解をもつ。
→ 判別式 D=
D=0
D
=(-6)? -9(16-4k) = 36k- 108
4
36k- 108 = 0 より
(2) +xy-2y? + 4x+5y+k=0 とおいて,x について
整理すると
k=3
x*+(y+4)x-(2y?-5y-k) =D 0
ニyー4±(D、
x について解くと
x =
5
2
ただし
D、= (y+4)°+4(2y°-5y-k)
IDi はこのxについて
2次方程式の判別式で
= 9y°- 12y+16-4k
x°+ (y+4)x-(2y° - 5y-k)
--ニyー4+D.,-ニyー4-D
る。
よって
lax + bx +c = 0 の解
a, Bとすると
ax° + bx +c
= a(x-a)(x-
x
2
2
これがx, yの1次式の積となるための条件は,D、がy
についての完全平方式となることである。
このとき,(1)より
k=3 のとき,D, = (3y-2)* であるから
°+(y+4)x-(2,2-5v-3)
k= 3)
k=3 のとき
D, = 9y- 12y+16-
= 9y-12y+4
= (3y-2)
ニyー4{(3y-)
ーリ-
= {x-(y-3)}{xー(-2y-1)}
= {xーニソー4 (3yー2)
x
= (r-y+3)(r+2y+1)
思考のプロセス
