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in
重安 例題
光形 (3)
陰関数
00000
方程式y2=x2(8-x2) が定めるxの関数yのグラフの概形をかけ。200
して
問題における便の
次の
基本 107 108
陰関数の形のままではグラフがかけないから、まずy=f(x)の形にする。そして,こ
指針
れまで学習したように,次の点に注意してグラフをかく。
定義域,対称性,増減と極値,凹凸と変曲点, 座標軸との共有点,漸近線
中でも、この問題では対称性がカギをにぎる。
y2=x2(8-x2) において
xをxとおいても同じ→y軸に関して対称
y-yとおいても同じx軸に関して対称
→原点に関して対称
185
解答
......
方程式でxを-x に, y を -y におき換えてもy2=x2(8-x2)
は成り立つから,グラフはx軸, y軸, 原点に関して対称であ
る。よって,x0,y≧0の範囲で考えるとめた内容を確認し
y=x√8-x2
■対称性の確認。 これ
により, グラフをか
く労力を減らす。
①
12020
8-x≧0 であるから
の
0<x<2√2のとき
y'=√8-x2+x
28-x2
0≤x≤2√20
-2x 2(4-x2)
2x√8-x²-(4-x2)・
√8-x2
<y=f(x) の形に変形。
◄x≥0
4
章
=
きない
検討
求めるグラフは,
y=x√8-x2 のグラフ
135 関数のグラフ
-2x
2√8-x2
2x(x2-12)
y"=2.
8-x2
(8-x28x2
とy=-x√8-x2 の
y' = 0 とすると,0<x<2√2 では
また, 0<x<2√2のとき y" <0
x=2
グラフを合わせたもの
とも考えられる(この
になる。
しても
更に
x-2√2-0
x
0
[図1]
x+0.
yA
4
2
...
2√2
2つのグラフは,x軸
0x2√2 における関数 ① の増減、凹凸は左下の表のように関して互いに対称)。
limy'=∞, limy'=2√2
〔図2] y
J"
0
+ 0
2
4
0
-2√2
O
122 x
0
22√2x
よって, 0≦x≦2√2 における関数 ①
のグラフは [図 1] のようになる。
T
ゆえに、対称性により求めるグラフは [図2] のようになる。
coin A
. y軸方向に4倍した
