15. 記述これでも大事ですか？？

34 基本例題 15 未定係数の決定(1) [係数比較法] 00000 次の等式がxについての恒等式となるように,定数a,b,c, dの値を定めよ。 -2x3+8x2+ax+b+10=(2x2+3)(cx+d) p.33 基本事項 [②] 指針 恒等式の未知の係数 (未定係数) を決定するには, 恒等式の性質を利用した2通りの方法 がある。 ① 両辺の同じ次数の項の係数が等しい。 ...... 2② x ここでは,係数比較法でa,b,c, dの値を定めてみよう。 5609 (恒等式の定義)。 値を代入しても成り立つ 解答 与式の右辺を展開して整理すると -2x3+8x2+ax+b+10=2cx3+2dx2+3cx +3d 両辺の同じ次数の項の係数を比較して T -2=2c, 8=2d, a=3c, 6+10=3d この連立方程式を解いて a=-3,6=2, c=-1, d=4 → 係数比較法 数値代入法 1降べきの順に整理。 KELOMAT 両辺の同じ次数の項の係数 は等しい。 SECRET JO

5.1 これでも問題ないですか？？

+n(2 +nGr. 1h+ (-2)^² + ··· + n²n (-2)^² = (1-2/" つまり nCo - 2nC₁ +2³°n (2-₁₁ + (-2)^n + + (-2)²³h (n = (-1)^ 1) X² knck <= ca kn x CK 5. ralel. kxnCK 2:07. knck=k n! k! (n= k) ₁ = k nnick -1 = n · | - | | | |-~|) - (K-1)// ^ ( F - J (n-K) ² 17= µ1: 2 knck = nhiCk-1 20 n! k(K-`)! (D-k)! ( K-)! (n-k)! KOKUYO 30

問5について ❶W+mgv"sinθ=Pとなるのは何故か ❷mgv"sinθは何を表しているのか 以上のことを教えていただけると嬉しいです🙇‍♀️🙇‍♀️

3 (配点33点) 図1のように,鉛直上向きで磁束密度の大きさがBの一様な磁場中に、2本のなめ らかな導体レール X Y が間隔で平行に置かれている。2本のレールの左側は水平で 同一水平面内にあり、途中から水平面となす角が9となるように傾斜している。 水平 部分の左端には,抵抗値R の抵抗 R, 切り替えスイッチ S,起電力 E の電池Eが接続 されている。 レール間には,長さ抵抗値R, 質量mの金属棒PP' がレールに垂直 に設置されている。 金属棒PP' は, レールと垂直な姿勢を保ったまま, レールから外 れることなくなめらかに動くことができる。 抵抗Rおよび金属棒PP' 以外の電気抵抗 は無視でき,また, 電流が作る磁場の影響も無視できるものとする。 重力加速度の大き さをg として,以下の問に答えよ。 R P [CL] Yt P' R, m B レール Y レール X 図 1 0 切り替えスイッチSをaにつなぎ, レールの水平部分で金属棒PP'に右向きの初速 度v を与えたところ,やがて PP'はレールの傾斜部分に達することなく, 水平部分で 静止した。 -37- 0 問金属棒PP' の速さがひとなったときを考える。このとき、金属棒PP' を P'′ か らPの向きに流れる電流の大きさをIとする。 (1) 金属棒PP' に生じる誘導起電力の大きさを, L, B, ” を用いて表せ。 VBl (2) 抵抗Rと金属棒PP' からなる閉回路について, キルヒホッフの第2法則を表 す式を書け｡ R, I, L, B, v を用いて表せ。 VBl=2RI (3) 金属棒 PP' の運動方程式を書け。 ただし, PP' の加速度は右向きにαとし, a, I, l, B を用いて表せ。 ma = -IBl (4) 加速度αを, m, R, l, B, v を用いて表せ。 VBl VB²l² a = - VBR XBlx m [= 20 2R 2km 問2 金属棒PP' が動き出してから静止するまでの間に, 抵抗 R で発生したジュール 熱を求めよ。 mo² 次に, 切り替えスイッチSをbに接続し, 金属棒PP' をレールの水平部分で静かに 放す。 このとき, 金属棒 PP' は傾斜部分に達する前に一定の速さとなり, その後レー ルから離れることなく傾斜部分を運動するようになった。 問3 金属棒PP' の水平部分での一定の速さを求めよ。 = 問4 傾斜部分を運動し, 金属棒 PP' の速さがvとなったとき, PP' の加速度を求めよ。 ただし, 加速度は斜面に沿って下向きを正の向きとする。 問5 やがて金属棒 PP' は傾斜部分で一定の速さとなる。このときの電池の供給電力 をW, 抵抗 R と 金属棒PP' での消費電力の和をPとする。 一定となった速さを W, P, m, g, 0 を用いて表せ。 -38-

問5について ❶W+mgv"sinθ=Pとなるのは何故か ❷mgv"sinθは何を表しているのか 以上のことを教えていただけると嬉しいです🙇‍♀️🙇‍♀️

3 (配点33点) 図1のように,鉛直上向きで磁束密度の大きさがBの一様な磁場中に、2本のなめ らかな導体レール X, Y が間隔で平行に置かれている。 2本のレールの左側は水平で 同一水平面内にあり、途中から水平面となす角が0となるように傾斜している。 水平 部分の左端には, 抵抗値R の抵抗 R, 切り替えスイッチ S,起電力 E の電池E が接続 されている。 レール間には,長さ抵抗値 R, 質量mの金属棒PP' がレールに垂直 に設置されている。 金属棒 PP' は, レールと垂直な姿勢を保ったまま, レールから外 れることなくなめらかに動くことができる。 抵抗Rおよび金属棒 PP' 以外の電気抵抗 は無視でき,また, 電流が作る磁場の影響も無視できるものとする。 重力加速度の大き さをgとして、以下の問に答えよ。 a R b E E [OR] とも P P' R, m B レール Y CH レール X 図1 2 01 切り替えスイッチSをaにつなぎ, レールの水平部分で金属棒PP'に右向きの初速 度vo を与えたところ,やがて PP' はレールの傾斜部分に達することなく, 水平部分で 静止した。 2m1 問1 金属棒PP' の速さがとなったときを考える。このとき、金属棒PP' を P' か らPの向きに流れる電流の大きさをIとする。 (1) 金属棒PP' に生じる誘導起電力の大きさを, 4, B, v を用いて表せ。 VBl (2) 抵抗 R と金属棒 PP' からなる閉回路について, キルヒホッフの第2法則を表 す式を書け。 R, I, L, B, v を用いて表せ。 VBL = 2RI (3) 金属棒 PP' の運動方程式を書け。 ただし, PP' の加速度は右向きにαとし, m, a, Ⅰ l, B を用いて表せ。 ma = - IB l (4) 加速度αを, m, R, L, B, を用いて表せ。 _VBl VB22 a=-VBLXBlxmm 20 2R 2km 問2 金属棒PP' が動き出してから静止するまでの間に、 抵抗 R で発生したジュール 熱を求めよ。 2 /mao² 次に, 切り替えスイッチSをbに接続し, 金属棒PP' をレールの水平部分で静かに 放す。 このとき, 金属棒PP' は傾斜部分に達する前に一定の速さとなり,その後レー ルから離れることなく傾斜部分を運動するようになった。 問3 金属棒PP' の水平部分での一定の速さを求めよ｡ F 問4 傾斜部分を運動し, 金属棒PP' の速さがvとなったとき, PP' の加速度を求めよ。 ただし, 加速度は斜面に沿って下向きを正の向きとする。 問5 やがて金属棒PP' は傾斜部分で一定の速さとなる。このときの電池の供給電力 をW, 抵抗 R と 金属棒PP' での消費電力の和をPとする。 一定となった速さを、 W, P, m, g, 0を用いて表せ。 - 38-

青線は気にしないで欲しいんですけどその右の赤色の式からどうしてs=とt=の答えが出るのかどう計算しても答えてなかったので求め方教えてください😭😭😭💦

基本例題 24 交点の位置ベクトル (1) △OAB において, OA-a, OB 辺OB を 3:4に内分する点をD,線分 AD と BCとの交点をPとし直線 OP と辺ABとの交点をQとする。 次のベクトルをa, ” を用いて表せ。 (1) OP (2) OQ [類 早稲田大〕 指針 (1) 線分 AD と線分BCの交点PはAD上にもBC上にもあると考える。そこで、 AP: PDs : (1-s) BP: PC=t: (1-t) として, OP を2つのベクトル トル コー a. 6 を用いて2通りに表すと, p.384 基本事項 5 から ad. 61.ax (とらが1次独立) のとき pa+qb=p'a+q'bp=p. q-q' (2) 直線 OP と線分ABの交点Qは OP 上にも AB 上にもあると考える。 0000 辺OAを3:2に内分する点をC, とする。 【CHART 交点の位置ベクトル 2通りに表し 係数比較 解答 (1) AP: PD=s: (1-s), BP: PC=t: (1-1) とすると OP=(1-s)OA+sOD=(1-s)a+1/256, よって OP-HOC+(1-t) OB=2/312+(1-1) 6 (1−s)ã+/-sb=³ tà+(1−1)6 0.0.x であるから 1-8-23/34,428-1-1 10 13 よって ********* t= 3 これを解いて s= したがって (2) AQ: QB=u: (1-u) とすると OQ=(1-u)a+ub また、点Qは直線OP 上にあるから, OQkOP (k は実数) とすると, (1) の結果から 13 0Q-k(a+b)-ka+kb 6 (1-u)a+ub-ka+kb = OP= 重要 27. 基本 36.63」 a A 1-t 3 a=0.6=0, a であるから 1-u= u-ik, u-13k これを解いて k-102.u-1/23 したがって DQ-012/241+1/1/27 の断りは重要。 ← 3 a+ -6 13 13 B りは重要 B

なんで青線の①の式から辺BCが2:3に内分すると分かったのか謎だし、線分ADを5:6に内分すると言うのもどう考えたら出るのか全くわからないので手がつきません😭😭😭😭🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️教えてください🙏

基本例題 22 分点に関するベクトルの等式と三角形の面積比 ①①①①① △ABCの内部に点Pがあり, 6PÂ +3P+2PC = 0 を満たしている。 (1) 点Pはどのような位置にあるか。 (2) APAB, APBC, APCA の面積の比を求めよ。 解答 (1) 等式を変形すると 指針▷ (1) αPA+6PB+cPC = の問題点Aに関する位置ベクトルAP, AB, AC の式に 直し、AP=k nAB+mAC m+n の形を導く。 A (2) 三角形の面積比 等高な底辺の比②2 等底なら高さの比を利用して,各 三角形と△ABCとの面積比を求める。その際, (1) の結果も利用。 よって -6AP+3(AB-AP) +2(AC-AP)=0 11AP=3AB+2AC ① ゆえに ゆえに AP= 5,3AB+2AC 5 辺BCを2:3に内分する点をDと すると AP-AD したがって, 辺BCを2:3に内分 する点をDとすると, 点Pは線分 AD を 56 に内分する位 置にある。 (2) △ABCの面積をSとすると △PAB= 51.4 △ABD= 6 △PBC= …AABC= 11 APCA-A -.AACD= B 6 53 11 5 D n △ABC=11S •AABC=ns APAB: APBC: APCA = S: S: S p.413 基本事項 [②2] [類 名古屋市大] 基本58 C =2:6:3 差の形に分割。 AB, AC の数に注目す ると,線分 BC の内分点の 3AB+2AC 2+3 位置ベクトル の形に変形することを思い つく。 【等高S,S, S,S,- [参考] 一般に, △ABCと点Pに対し, IPA+mPB+nPC=0 を満たす正の数m,nが存在す るとき,次のことが成り立つ。 (1) 点Pは△ABCの内部にある。 (2) APBC: APCA: APAB=1:m:n

116.4 a^2019を7で割り切れないのは3^2019 であることを示してから、 2019を3で割る作業を続けても◯だと思いますが、 下の方[3^3≡6(mod7),6^2=1(mod7)]を用いた方が 効率的ですよね？ また、記述的にはどちらを書いても◯ですよね？？

lines 486 00000 基本例題 116 割り算の余りの性質 a,bは整数とする。 α を7で割ると3余り, 6を7で割ると4余る。このとき、 次の数を7で割った余りを求めよ。 (1) a+2b (2) ab (3) aª p.485 基本事項 ① ③3 指針 前ページの基本事項③の割り算の余りの性質を利用してもよいが, (1)~(3) は、 161704 a=7g+3,6=7g' +4 と表して考える基本的な方針で解いてみる。 (3)(7g+3)* を展開して,7×の形を導いてもよいが計算が面倒。 d'=(a)2 に着目 し,まず, a²を7で割った余りを利用する方針で考えるとよい。 【CHART 割り算の問題 (4) 割り算の余りの性質 4α” をmで割った余りは, r” をmで割った余りに等しい を利用すると,求める余りは 「32019 を7で割った余り」であるが,32019 の計算は不可能。 このような場合、まずα” を m²で割った余りが1となるnを見つけることから始める のがよい。 A=BQ+R が基本 (割られる数) = (割る数)×(商)+(余り) 解答 a=7g+3, b=7g' +4 (g, g′ は整数)と表される。 (1) a+26=7g+3+2(7g'+4)=7(g+2g') +3+8 =7(g+2g′+1)+4 したがって, 求める余りは 4 (2) ab=(7g+3)(7q'+4)=49gg'+7(4g+3g′)+12 =7(7gg'+4g+3g' + 1 ) +5 したがって 求める余りは 5 (3) a²=(7q+3)^=49g²+42g+9=7 (7g²+6g+1)+2 よって, d²=7m+2mは整数)と表されるから α^=(a²)²=(7m+2)=49m²+28m+4=7(7m²+4m)+4 したがって 求める余りは 4 (4) を7で割った余りは, 3°を7で割った余り6に等しい。 よって, (a)2=a を7で割った余りは, 62=36を7で割った 余り1に等しい。 a2019a2016 (α6) 336.3であるから, 求める余りは, 1336.6=6を7で割った余りに等しい。 したがって 求める余りは 6 (4) 2019 練習 ②② 2 116 き,次の数を5で割った余りを求めよ。 (1) 6 (2) 3a-2b (3) 62-4a 別解 割り算の余りの性質を 利用した解法。 (1) 2を7で割った余りは 2 (27.0+2) であるから, a,bは整数とする。 αを5で割ると2余り, d²-b を5で割ると3余る。 このと 26 を7で割った余りは 2・48を7で割った余り1 に等しい。 ゆえに, a+26を7で割っ た余りは3+1=4を7で 割った余りに等しい。 よって、求める余りは 4 (2) ab を7で割った余りは 3・4=12を7で割った余り に等しい。 よって、求める余りは 5 (3)α を7で割った余りは 3* = 81 を7で割った余り に等しい。 よって, 求める余りは4 (4) 299 (p.491 EX81 )

112.2 記述これでも大丈夫ですか？

480 00000 基本例題112 互いに素に関する証明問題 (1) (1) nは自然数とする。n+3は6の倍数であり,n+1は8の倍数であるとき, n+9 は 24の倍数であることを証明せよ。 (2) 任意の自然数nに対して,連続する2つの自然数nとn+1は互いに素であ ることを証明せよ。 ATUNATI p.476 基本事項 ② 基本 111 重要 114 CFS CITAT 指針 (1) 次のことを利用して証明する。 a, b, kは整数とするとき a,bは互いに素で, ak が6の倍数であるならば,hは6の倍数である。 TRAXE SHES OU MOC! (2) 1 +1は互いに素⇔nとn+1の最大公約数は nとn+1の最大公約数をg とすると n=ga, n+1=gb (a,b は互いに素) この2つの式からnを消去してg=1 を導き出す。 ポイントは 【CHART A,Bが自然数のとき, AB=1 ならば A=B=1 求める。(間 解答 (1) n+3=6k,n+1=81 (k, lは自然数)と表される。 n+9=(n+3)+6=6k+6=6(+1) n+9=(n+1)+8=81+8=8(1+1)+ M=5A JES RAJS a,bは 11 ak = bl ならばんは6の倍数, 1はαの倍数 互いに素 ②2 aとbの最大公約数は 1 <<549° よって 6(k+1)=8(+1) すなわち 3(k+1)=(2+1) 3と4は互いに素であるから,k+1は4の倍数である。このとき,l+1は3の倍数 したがって,k+1=4m (mは自然数) と表される。 である。 したがって, ゆえに n+9=6(k+1)=6.4m=24m +1=3m と表されるから, したがって, n +9 は 24の倍数である。 n+9=8.3m=24m (2) nとn+1の最大公約数をg とすると n=ga, n+1=gb (a,bは互いに素である自然数 と表される。 n = ga をn+1=gb に代入すると ga+1=gb すなわち g ( 6-α) = 1 g,a,bは自然数で,n<n+1より6-a>0であるから g g=1 (1) としてもよい。 KBT BOE-S) IS = よって, nとn+1の最大公約数は1であるから, nとn+1 (ST 8 は互いに素である。 )=(62. 注意 (2) の内容に関連した内容を,次ページの参考で扱っている。 BOSTOYEVS nは自然数とする。 n +5は7の倍数であり、 Ad>D An=ga, n+1=gb 積が1となる自然数は1だ けである。 08 S (()(A) n+7は5の倍数であるとき、

112.1 2枚目:記述はこれでも問題ないですか？ 3枚目:l+1が3の倍数であることを示さなくても良い理由は こう（赤ペンで書いているところ）だからですか？？

480 00000 基本 例題112 互いに素に関する証明問題 (1) (1) nは自然数とする。 n+3は6の倍数であり,n+1は8の倍数であるとき、 n+9 は 24の倍数であることを証明せよ。 (2) 任意の自然数nに対して, 連続する2つの自然数nとn+1は互いに素であ 重要 114」 ることを証明せよ。 指針 (1) 次のことを利用して証明する。 α, b, kは整数とするとき p.476 基本事項 ②. 基本 111 a,bは互いに素で, akbの倍数であるならば, kは6の倍数である。 (2) +1は互いに素⇔nとn+1の最大公約数は 1 nとn+1の最大公約数をgとすると n=ga, n+1=gb (a,bは互いに素) この2つの式からnを消去してg=1 を導き出す。 ポイントは A,Bが自然数のとき, AB=1 ならば A=B=1 [CHART CAUCA a,bは ①1 ak=blならばんは6の倍数,はαの倍数 互いに素 ②2 aとbの最大公約数は 1 解答 (1) n+3=6k, n+1=81(k, lは自然数) と表される。 n+9=(n+3)+6=6k+6=6(k+1) n+9=(n+1)+8=8l+8=8(+1) よって 6(k+1)=8(+1) すなわち 3(k+1)=4(+1) ! 3と4は互いに素であるから, k+1は4の倍数である。 したがって, k+1=4m (mは自然数) と表される。 ゆえに n+9=6(k+1)=6.4m=24m したがって, n +9は24の倍数である。 (2) とすると n+1の最大公約数をg n=ga, n+1=gb (a,bは互いに素である自然数) と表される。 n=ga を n +1=gbに代入すると ga+1=gb すなわち g (b-α)=1小 g, a,b は自然数で, n <n+1 より 6-α>0であるから g=1 よって, nとn+1の最大公約数は1であるから, nとn+1 は互いに素である。 注意 (2) の内容に関連した内容を, 次ページの参考で扱っている。 練習 ②112 +12を35で割った余りを求めよ。 1+1は3の倍数 このとき, (2)を自然数とするとき 2n-1と2は である。 したがって, l+1=3m と表されるから、 n+9=8.3m=24m としてもよい。 (1) nは自然数とする。 n +5 は 7の倍数であり, n +7は5の倍数であるとき, ◄n=ga, n+1=gb 積が1となる自然数は1だ けである。 基 指針 C L a- と (2 a こ t 0 C

111. 指針についてです。 a=6k,b=6l,c=6mとしたとき k,l,mは互いに素であるとは言えないのは なぜですか？？

る。 見 I t 基本 例題 111 最大公約数・最小公倍数と数の決定 (2) 00000 次の (A),(B), (C) を満たす3つの自然数の組(a, b, c) をすべて求めよ。ただし, a<b<c とする。 (A) a,b,c の最大公約数は 6 STRE JUH (B) bとcの最大公約数は 24, 最小公倍数は 144 (C) aとbの最小公倍数は 240 解答 Ⅱ (B) の前半の条件から, b=24b', c=24c′ と表される。 ただし いに素な自然数でB'<c'′ ...... [専修大] (0) 14 p.476 基本事項 3, 基本 110 JANSS 指針 前ページの基本例題110と同様に, 最大公約数と最小公倍数の性質を利用する。 2つの自然数 α, 6 の最大公約数をg, 最小公倍数を1,a=ga', b=gb' とすると Ca' と'は互いに素 2 l=ga'b' 3 ab=gl (A)から,a=6k,b=6l,c=6mとして扱うのは難しい (k, l, m が互いに素である,とは 仮定できないため)。 (B)から6, c, 次に, (C)からαの値を求め、最後に (A) を満たすものを 解とした方が進めやすい。 このとき, b=246', c=24c′' (b', c'′ は互いに素でB'<c') とおける。 最小公倍数について 240'c'=144 これからB', c'を求める。 (ｴ) ......... 1=a+a)= (+ TRAHO 47