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重要 例題 116 反転 OP・OQ=(一定) の軌跡
00000
|xy平面の原点を0とする。 xy 平面上の0と異なる点Pに対し, 直線 OP 上の
点Qを,次の条件 (A), (B) を満たすようにとる。
(A) OP・OQ=4
(B) Q は, 0 に関してPと同じ側にある。
点Pが直線x=1上を動くとき,点Qの軌跡を求めて、図示せよ。 〔類 大阪市大
指針
求めるのは、点Pに連動して動く点Qの軌跡。
基本110
連動形の軌跡 つなぎの文字を消去して,x,yの関係式を導く
P(X, Y), Q(x, y) とすると, 2点P, Qの関係は
点Qが半直線 OP 上にある⇔ X = tx, Y = ty となる正の実数 tが存在する
このことと条件(A) から, tを消去して,X,Yを x, yの式で表す。 そして、点Pに関
する条件 X=1より, x, yの関係式が得られる。 なお, 除外点に注意。
点 Q の座標を (x, y) とし, 点Pの座標を (X, Y) とする。
解答 Qは直線OP 上の点であるから
Q(x,y)
P(X, Y)
X=tx, Y=ty (tは実数)
ただし、点Pは原点と異なるから t=0, (x, y)≠(0, 0)
更に, (B) から, t>0である。
x2+y2
参考事項 反転
表す
※定点を中心とする半径r (r>0) の円がある。 点を通る直
に, 0と異なる点P をとり, 半直線OP 上に点P' を OP・OP'=
によって定める。 このとき,点Pに点P' を対応させることを
といい,点を反転の中心という。
また、点Pが図形F上にあるとき, 点P' が描く図形F' をF
反形という。円や直線の反転に関しては,次のような性質が
(1)定点 0 を通らない直線の反形は, 0を通る円にな
(2) 定点を通る円の反形は, 0 を通らない直線にな
(3) 定点を通らない円の反形は, 0 を通らない円に
[(1)の証明] O を通らない直線を l とする。
0から lに下ろした垂線と l との交点をP。 とし, Poを反転した
点をP とする。
また l 上のP。 以外の点をPとし,Pを反転した点をP'とする。
OPOP=OPOP' より, OP: OP'=OP : OP であるから、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しくなり
OPPOP'P
よって ∠OP'P'′ = ∠OPP=90°
したがって, P'は線分 OP を直径とする円を描く。
ただし, OP'>0であるから, 点0は除く。
[(2) の証明] 線分 OP。 が円の直径となるように、点Po をとり, P
反転した点をP とする。 また, Po以外の点Pを反転した点を
(A)から
√x2+y2√(tx)2+(ty)2=4
ゆえに
t(x2+y2)=4
よって t=
4
x2+ye
したがって X=
4x
x2+y2.
4y
Y=
tを消去する。
とすると, (1) と同様にして
4x
点Pは直線x=1上を動くから
=1
x2+y2
ゆえに
y
X=1 に X=
代入する。
4x
x2+y2
を
線分OP が直径であるから
よって
(x-2)'+y2=4
2-
したがって,求める軌跡は
中心が点 (2,0), 半径が20円。
0
12
14
x
ただし, (x,y)≠(0,0)である
から, 原点は除く。
-2-
図示すると、 右図のようになる。
x2+y2-4x=0
注意 本間は、反転の問題
である。 反転については,
次ページ参照。
OPPOP'P
∠OPP=90°
よって,∠OP'P'=90°から、点P'は,点P を通り OPに垂
な直線上を動く。
[ [3] の証明] 右の図のように、線分 P.P が円の直径
となるように、点Po, P1 をとり, Po, P, を反転し
た点をそれぞれP, P' とする。
また, Po, P, とは異なる, 0 を通る直線と円との
交点をPとし,Pを反転した点をP'とする。
(1)と同様にして
AOP POO
PC
0
Po
