重要 例題 45
因数分解ができるための条件2=1626
x2+3xy+2y2-3x-5y+kx,yの1次式の積に因数分解できるとき,定数k
の値を求めよ。 また、 その場合に,この式を因数分解せよ。
[東京薬大]
基本44
用
指針 与式が x,yの1次式の積の形に因数分解できるということは,
(5)=(ax+by+c)(px+qy+r) (8-8) (1
8)()()()
解答
の形に表されるということである。 恒等式の性質を利用(検討 参照) してもよいが、ここで
は、与式を2次式とみたとき, = 0 とおいたxの2次方程式の解がyの1次式で
なければならないと考えて, kの値を求めてみよう。
ポイントは,解がyの1次式であれば,解の公式における内がyについての完全平
式 [(整式)2 の形の整式] となることである。
P=x2+3xy+2y2-3x-5y+kとすると
P=x2+3(y-1)x+2y2-5y+h
+=04+28+(x+4x11-13) 712
P=0を xについての2次方程式と考えると,解の公式から
x=
4.
-
x2の係数が1であるから
xについて整理した方がら
くである。
—3(y−1)±√9(y—1)²—4(2y2-5y+k), ba+
2
-3(y-1) ±√y2+2y+9-4k
2
2
Pがxyの1次式の積に因数分解できるためには、この解がy
の1次式で表されなければならない。
この2つの解をα βとす
あると、 複素数の範囲で考え
てP=(x-a)(x-B)
と因数分解される。
よって, 根号内の式y'+2y+9-4kは完全平方式でなければな完全平方式
らないから, y2+2y+9-4k=0の判別式をDとすると
=0が重解をもつ
判別式D=0
D
=12-(9-4k)=4k-8=0
ゆえに k=2
をくに代
-3(y-1)+(y+1)2
-3y+3±(y+1)
この
x=
2
2
すなわち
x=-y+2, -2y+]
よって
P={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)}
=(x+y-2)(x+2v-1)
どうやった
(y+1)=ly+1である
が,±がついているから,
+1の符号で分ける必要
にはない。
れかでているのか?
私を仕事
():05
