第8章 整数
例題 253 方程式の整数解 (1)
次の不定方程式の整数解を求めよ.
(1) 2x-3y=21
考え方 (1) 2x-3y=21 を 2x = 3(y+7) と変形し、2と3は互いに素であることを利用する。
(2)xとyの係数に, 539=52×10+19 という関係がある.
解答 (1) 2x-3y=21 より,
2x=3(y+7) ・・・・・ ①
・①
2と3は互いに素であるから, xは3の倍数とな
Focus
(2) 52x+539y=19
る.
したがって, kを整数として, x=3k とおける.
これを①に代入すると,
2×3k=3(y+7)
2k=y+7 より,
よって 求める整数解は,
y=2k-7
よって,
(2) 539=52×10+19
x=3k, y=2k-7 (kは整数)
2
(別解) 2x-3y=21 より, y=-x-7
yは整数より,xは3の倍数となる.
したがって, x=3k (kは整数) とおけ。
y=2k-7
x=3k, y=2k-7 (kは整数)
これを与えられた方程式に代入すると,
52x+ (52×10+19)y=19
整理すると
52(x+10y)=19(1-y) ...... ①
5219は互いに素であるから, x+10y は19の
倍数となり,kを整数として
x+10y=19k, すなわち,
x=19k-10y
52×19k=19(1-y)
これを①に代入すると
52k=1-y より, y =
-52k+1
よって, 求める整数解は,
x=539k-10,y=-52k+1 (kは整数)
xが3の倍数でないとき
yは整数にならない。
xとyの係数の大きい方
の数 539 小さい方の乱
52 で割る.
y=-52k+1 より、
x=19k-10y
=19k-10(-52k+
=539k-10
