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基礎問
76 対数の応用(II)
次の手順にしたがって, 330 の最高位の数字を求めよう.
ただし,10g102=0.3010, log103=0.4771 とする.
(1) A=330 とおくとき, 10g10 A の値を求めよ.
(2) Aの桁数を求めよ.
(3)A'=A×10-(1-1)とおくとき, 10g10 A' の値を求めよ。
(4) 1010mlog10A' <10g10 (m+1) をみたす自然数を求めよ。
(5) Aの最高位の数字を求めよ.
精講
(1)は69の復習です.
(3)(4)がこの基礎問のテーマ 「330 の最高位の数字」 を求めるため
の準備になっていますが、 意味がわからない人は,を見ながら
解答を読みなおしましょう. 大切なことは, 「(3)の作業の意味を理解すること」
です.
解 答
(1)10g10A=10g10 330=3010g103
=30×0.4771
=14.313
.. 2×10"≦A <3×1014
よって, A の最高位の数字は2
127
FT
(2)より,Aは15桁の数だから, AとA' (=A×10-14) との関係は
参考
図のようになります。
15個
A:
A': ☐ .
14個
15個の数字の並びは変わらず
小数点の位置がずれているだけ
この図からわかるように, (3) 以降で10-14 をAにかけてあるのは「小数点の
位置を自分のほしい数字のすぐ右側にもってくる」ことが目的なのです. こう
することによって, 不要な数字14個を小数点以下にもっていき無視すること
で、最高位の数字だけを残そうということです.
一般的にまとめると次のようになります.
実数A (1) に対して, 10g10A=n+α
(n: 整数 0≦α<1) と表せるとき,
Aの整数部分の桁数は,n+1
最高位の数字は, logoma<logio (m+1) をみたす
この考え方と対数表を利用すれば大きな数が,たとえば 6.02×1023 (アボガ
ドロ数)のような形に表せることがわかります.
(2)(1)より, 14<10g10A<15
1014<A<1015
よって, Aは15桁の整数.
②ポイント
すなわち,15
具体的な値がわからない数でも, 小数点の位置をずら
せば,最高位の数字を知ることができる
(3) A'=A×10-14 より,
10g10A' = 10g10A+10g1010-14
=14.313+(-14)=0.313
演習問題 76
(4) login2=0.3010, logio3=0.4771 より
log102≦log10 A' <log103
∴.m=2
(5)(4)より,2≦A'<3
2×10¹4≤A'×1014<3×1014
A=logs2 について, 次の問いに答えよ. ただし, 10g102=0.3010,
10g103=0.4771 を用いないものとする.
(1)'≦21034+1 をみたす自然数を求めよ.
(2) 10A について, 一の位の数字を求めよ.
(3)Aの小数第1位の数字を求めよ.
