468 第8章 整数の性質
考え方
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2次関数f(x)=ax2+bx+c について,すべての整数nに対して、
-
f(n) が整数値をとるためのa,b,c の必要十分条件を求めよ.
解
例題265 整数の応用問題 (1)
(4)
まずxに適当な値を代入して必要条件を求める.
18. N
文字がa,b,cの3つあるので、3つの値を代入する.
求めた必要条件をもとに逆が成り立てば,十分条件が成り立つ
SOYDAS VA () 1
条件より, f(0), f(1), f(-1) が整数値となることが必
要であるから,
[f(0) = c より,
f(1)=a+b+c
lf(-1)=a-b+c
ここで,a+b+c, a-b+cは整数で,①より,
(a+b, a-bは整数
逆に, ① ② が成り立つとき,
cは整数 ①
Focus
a+b=p,a-b=g(p,g は整数)とおくと,
上の2式をたす
ひく.
a=p+q b=p-q
2
2
よって,
f(x)=ax2+bx+c
= (p+q) x ² + (p+q) x +
2
2
=1/2/2x(x+1)+1/2x(x-1)+c-
はつねに整数値をとる.
よって, 求める必要十分条件は,
₂. f(n) = n(n+1) + n(n-1)-c) o
ここで, n(n+1), n(n-1) は連続整数の積より偶数で
ある.
したがって, 1/2n(n+1), n(n-1)は整数より、f(n)
「ca+b, a-bが整数である｣
ことである.
3つの値 x=0, ±1を
代入する.
(mod p
必要条件
ここから、十分条件を
求める.
変数を含む等式の必要十分条件
⇒ まずは変数に具体的な値を代入して必要条件を求めよ。
5
5.
