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III. 強さの定常電流が作る磁場は、次のビオサバールの法則で与えられる。
点Sのまわりのds 部分を流れる電流が点Pに作る磁場dH は、
I ds x r'
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(1)
で与えられる。ここで、 r'はSからPに向かうベクトルSP､ r' = r 。 下の左図参照。
dH =
I
S
ds
III-1. 強さの無限直線定常電流が軸上を、軸の正の向きに流れている場合を考える。
上の左図。 円筒座標系において、点Pの円筒座標を(p, 中, z) とし、 その点での規格化された
基底ベクトルを eps epiez とする。
円筒座標 (p,d,z) の点Pに作られる磁場H (p, 中, z) は、ed の向きであり、磁場のe。 成分,
Ho は pのみに依存する、 すなわち
H(p,d,z) = Hs (p)eΦ
と表すことができることを以下の手順 (1)-(3) で示せ。
(2)
(1) 軸上の点Pに作られる磁場を求める。 点Pの座標を(x,0,0) とする。 軸上の点S
のまわりのds部分を流れる電流が点Pに作る磁場の向きをその理由とともに答えよ｡
(2) 次に、点Pがzy平面上、軸からの距離がpの位置にあるとする。 このとき、円筒
座標を用いて点Pの座標が (p,p,0) であるとする。 軸上の点Sのまわりのds 部分
を流れる電流が点Pに作る磁場の向きをその理由とともに答えよ。 また、磁場の大き
さがpのみに依存し、中に依存しないことを示せ。
(3) 最後に、 点Pが円筒座標 (p,d,z), ≠0の位置にあるとする。軸上の点Sのまわり
のds 部分を流れる電流が点Pに作る磁場の向きをその理由とともに答えよ。 また、
磁場の大きさがpのみに依存し、 中zに依存しないことを示せ。
(4) 磁場をH, 電流密度をżとしたとき, マックスウェルの方程式の一つは,
V x H = i
(3)
で与えられる。 マックスウェルの方程式 (3) を用い, さらにストークスの定理を適用
して、円筒座標 (p, 中, z), (p > 0) の点Pにおける磁場のe 成分, H を求めよ。
III-2. 次に、 上の右図のように、 無限に長い円筒に強さの定常電流が流れている場合を考
える。ここで、円筒の断面は半径aの円であるとする。 円筒の中心軸を軸とする。 円筒に
は強さの定常電流が軸の正の向きに, 円筒内を一様に流れているとする.
(1) III-1 の結果を利用して、 円筒座標 (p, Φ, z) の点Pに作られる磁場 H (p, 中, z) は、 ed
の向きを向くことを示せ。 また、 磁場のed 成分, H は p のみに依存することを示せ。 即
ち、この場合も磁場は式 (2) のように表すことができる。
(2) 円筒領域p<α及び円筒外の領域p>αにおいて、電流密度の大きさ i = i を求め
(3) マックスウェルの方程式 (3) を用い, さらにストークスの定理を適用して,次の領域
における磁場のe」 成分, H を求めよ。
(a) p<a, (b) p> a
