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原形
not to T
204 第3章 図形と方程式
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例題
109
中点の軌跡
***
点 (3,0) を通る直線と円 (x-1)2+y2 =1 が異なる2点A, Bで交
解
考え方
わるとき, 線分ABの中点Mの軌跡を求めよ.
(3,0) を通る直線は,y=m(x-3)とおける.
(x-1)*+y=1 と y=m(x-3)からyを消去してできるxの2次方程式について、
解と係数の関係を利用する.
円と直線が異なる2点で交わっているという条件も忘れずに.
または、円の中心から直線AB までの距離と円の半径の関係を利用してもよい。
解 1
直線 x=3は円と交わらないので,
点 (3,0) を通る直線を y=m(x-3) とおく.
これを円の方程式(x-1)2+y2=1 に代入して,
(x-1)2+{m(x-3)}2=1
(m²+1)x2-2(3m²+1)x+9m²=0 ... ①
円と直線が異なる2点で交わるためには、 ①の判別式をD
とすると, D>0 であればよい.
D
4
1=(3m²+1)2-9m²(m²+1)=-3m²+1
したがって,-3m²+1>0より 0≦m²<1/3
ここで, 2点A,Bのx座標をα, β とすると, ① におい
2(3m²+1)
て解と係数の関係より, a+B=
2+1
線分ABの中点を M(X, Y) とすると,
X=a+B
2
2(3m²+1)
m2+1
3m²+1
2
m²+1
3D
定点 (3,0) を通る
x=3 以外の直線は、
y=m(x-3)
2000
②より, 後でxの値の
範囲を決定する。
ax2+bx+c=0
(a≠0) の2つの解を
a,β とすると,
α+B=--
b
48=2
a'
a
③より,
Y=m (X-3) ......④
(m²+1)X=3m²+1
(X-3)m²+X-1=0 ...... ⑤
A,Bは直線
y=m(x-3)上の点
より,その中点Mもこ
の直線上にある.
Y
図より, X≠3 なので,④より,
m=
......6
X-3
⑥を⑤に代入して
AY
2
(X-3)(
-3)(x-3) +X-1=0
A
-B
Y2+(X-1) (X-3)=0
M
0
2
3
X2+ Y2-4X +3=0
x≦1/23より、
また,③ より X=3-
2
m²+1
1≦m²+1</
2
であり、②より0m/1/3だから,1≦x<2
-2-
m²+1
2
2
1≤3-
m²+12
よって,求める軌跡は,円 x+y-4x+3=0 の1≦x< 2/27 の部分
3
