0
2
し
xが2桁で最小である組は (x,y)=(^^) である。
等式2x+3y=33 を満たす自然数x,yの組は
CHART
SOLUTION
方程式の自然数解
不等式で範囲を絞り込む ・・・・・・図
2x+3y=33 から
2x=33-3y
すなわち
2x=3(11-y)
2と3は互いに素であるから, xは3の倍数である。
⑩において, y ≧1 であるから
11-y≤10
2x≦3・10=30
更に, x≧1 であるから
1≤x≤15
x = 3, 6, 9,12,15
②③から
ゆえに, 等式を満たす自然数x,yの組は
それらのうちxが2桁で最小である組は
別解 x=0, y=11 は, 2x+3y=33
であるから
2.0+3・11=33
①②から
2x+3(y-11)=0
すなわち
2x=-3(y-11)
2と3は互いに素であるから、①のすべての整数解は
x=3k, y=-2k+11 (kは整数)
「x, y が自然数」すなわち x≧1, y≧1 (あるいは x>0,y>0) という条件を利
用して,最初から x,yの値の範囲を絞り込む とよい。
別解 基本例題122 と同様にして方程式 2x+3y=33 の整数解を求めた後で, x,
が自然数になるように絞り込んでもよい。
とされる。
x≧1,y≧1 であるから
3k≧1, -2k+111
よって
-≤k≤5
んは整数であるから
k=1, 2,3,4,5
ゆえに, ① を満たす自然数x,yの組は『5組
PRACTICE... 124 ③
■ 組ある。 それらのうち
[福岡工大]
5組
(x, y)=(112, 3)
① の整数解の1つ
(2)
xが2桁で最小となるのはk=4 のときであり,
このときの組は
(x, y)=(12, 23)
(2)
|基本 122
満たす自然数x,yの組を求めよ。
重要 125
11-yは2の倍数である
からyは奇数。 こちら
から絞り込んでもよい。
◆それぞれのxに対して,
yは自然数になる。
2x=33-3y
=3(11-y)
と変形してもよい。
←-2k≧-10 から
k≤5
不等号の向きに注意。
xが2桁のとき
x=3k≧10
4章
15
ユークリッドの互除法
