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000
さが最
基本8
(1)
基本 例題 86 2 変数関数の最大・最小 (1)
(1)x+2y=3のとき,2x2+y2の最小値を求めよ。
x≧0, y≧0, 2x+y=8 のとき, xyの最大値と最小値を求めよ。
①①①
[ 熊本商大]
139
章 2次関数の最大・最小と決定
基本 77
重要 118
指針 (1) のx+2y=3,(2)の2x+y=8のような問題の前提となる式を条件式という。
条件式がある問題では,文字を消去する方針で進めるとよい。
(1) 条件式x+2y=3から x=-2y+3
これを2x2+y2に代入すると,
10
2(-2y+3)2 +y2 となり, xが消えて1変数yの2次式になる。
-> ・基本形α(y-p)2 +αに直す方針で解決!
(2)条件式からy=-2x+8 としてyを消去する。 ただし、次の点に要注意。
消去する文字の条件 (y≧0) を,残る文字(x) の条件におき換えておく
CHART 条件式 文字を減らす方針で変域に注意
解答
スー
が何であ
ことを
求める
基本
かく。
(1)x+2y=3から
x=-2y+3
xを消去 y=-x と
ゆえに2x2+y2=2(-2y+3)"+y2=9y-24y+18
=93-1/3s+(1/14)-9.(1/4)+18=9(y-1/3)+2
4
よって,y=
y=1/3で最小値2をとる。
このとき, ①から x=-2.
-x+3
2
して,yを消去すると, 分
数が出てくるので代入後
の計算が面倒。
t=9(y-1235) +2のグラフ
は下に凸で,y の変域は実
数全体→頂点で最小。
3
したがって
x=
1
3'
y=1のとき最小値 2
(x,y)=(1/3
4
のよう
3
(2) 2x+y=8から
y=-2x+8
①
に表すこともある。
であるから
-2x+8≧0
ゆえに
x≤4
x≧0との共通範囲は
0≤x≤4
②2
また
xy=x-2x+8)=-2x2+8x
=-2(x2-4x+22)+2・22
*y=-2(x-2)2+8
②の範囲において,xy は, x=2で最大値8をとり、
x = 0,4で最小値0
①から、xの値に対応したyの値を求めて
(x,y)=(24) のとき最大値8
(x,y)=(0,8), (4, 0) のとき最小値 0
xy=t とおいたときの
$vst=-2(x-2)+8 (0≦x≦4)
Sのグラフ
ta
最大
I
実は
Are D
10
最小
I
最小
0
24
x
