5
10
5
D 例題
4
方針
解
応用
定義域が変化するときの最大・最小
a>0のとき, 2次関数y=x²-4x+5 (0≦x≦a)の最小値
を求めよ。 また, そのときのxの値を求めよ。
定数αの値によって定義域が変化する。この
とき,定義域の両端と放物線の軸の位置の関
係によって, 最小値はどのように変化するか。
NM
x=0
x=1 x=0 x = 3
与えられた2次関数は, y=(x-2)2 +1 と変形できる。
(i) 0<a<2のとき
Vy
0≦x≦a におけるこの関数の
5
グラフは,右の図の放物線の実線
DECORU
部分である。
a²-4a+5
幅は(12
したがって
1
x=α のとき 最小値 α²-4a+5
(ii) 2≦α のとき
0≦x≦a におけるこの関数の
グラフは、 右の図の放物線の実線
部分である。
したがって
x=2のとき 最小値1
a
2
X
a²-4a+5
1
2 a
X
f0<a<2のとき x = a で最小値α²-4a+5
(i), (ii) より
12≦a のとき
x=2で最小値1
定数αの値によって定義域が変化する2次関数の最大値、最小値を求め
るときは、定義域の両端と放物線の軸の位置の関係によって場合分けして
考えるとよい。
(0 ≤ x ≦ α)の最大値を求
で
