四角で囲んだ部分についてなのですが、その定義というのはどういう定義ですか？ その定義から開区間で扱うという所について詳しく教えて欲しいです

356 00000 重要 例題 211 導関数から関数決定 (2) 微分可能な関数 f(x) が f'(x)=ex-1| を満たし, f(1) = e であるとき, f(x)を 基本210 求めよ｡ 指針▷>条件f'(x)=ex-1|から, f(x) = flex-1dx とすることはできな い。 まず、 絶対値 場合に分けるから x>0のとき f'(x)=ex-1 x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-e*+1 x>0のときは,A と条件f(1) = e から f(x) が決まる。 しかし, x<0のときは,条件f(1) =e が利用できない。 そこで,関数f(x) は x=0で微分可能 lim f(x) = limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 x→+0 解答 x>0のとき, ex-1>0 であるから よって f (1) = e であるから e=e-1+C ゆえに C=1 x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-ex+1 よって f(x)=f(-ex+1)dx ゆえに lim f(x) = lim f(x)=f(0) x→+0 x-0 ①から limf(x)=lim (ex-x+1)=2 ②から limf(x)=lim(-e*+x+D)=-1+D よって したがって x→+0 f'(x)=ex-1 f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (C は積分定数) =-e*+x+D (Dは積分定数 (2) f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0で連続である。 _0-1x このとき, lim lim h→+0 x→0 x 練習 1 211 lim h--0 2=-1+D=f(0) ゆえに D=3 f(x)=-ex+x+3 -=1から ex-1 したがって f(x)=ex-x+1 ...... 1 x→+0 0-1x ƒ(h)—ƒ(0) A : lim ん→+0 ƒ(h)—ƒ(0) h eh-h-1 h =lim h-0 (p.242 基本事項 ① ② ) に着目。 x=0で連続 -=0, -e" +h+1 =0 h よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。 [e*-x+1 (x≥0) 以上から f(x)={ −e³+x+3 (x<0) ....... x+x-xm-(2) y O y=ex-1 導関数 f'(x) はその定義か ら,x を含む開区間で扱う。 したがって, x>0,x<0の 区間で場合分けして考える。 x JOHAJ (x)=x (S) lim ん→-ol f(x) は微分可能な関数。 lim (e^-1-1) ++0 130 1 Ade 必要条件。 逆の確認。 p.257 も参照。 =(e^-1)+1} h ors π <x<1とする。 f'(x)=|tanx-1, f(0)=0 であるとき, f(x) を求めよ。 3 [2] 3 J Î

至急です。 丸をつけた箇所が分からなく、困っています。 解説してくれる方、お願いします。

数とする。 次の acosnxdx dxの最小値 =+1)dx (nl 1 ぃと 表せ。 √√x F(1)=2 情け無用の100問組手! 鬼の微積分演習 77 次の関数を微分せよ。 ただし, a,bは定数で, a>0, aキ1とする。 (1) y=e-sin 3x (2)) y ecos (4) y=log.a (⑤5) y=log.sinx (7) y=2x+1logx (9) y = {log(√x+1))2 ⑧8 次の関数をxで微分せよ。 (1) y = fusi (1) sin tdt 9 次の不定積分を求めよ。 (1) dx x(x²-1) (3) Sa dx (x-2Xx+2Xx-3) 10 次の不等式を証明せよ。 +5² dx ✓1-1/2 sin' x (2) (8) y=log (x+√√x²-a²) x-b (10) y=log. x2+6 (2) y=S" e'costdt (2) dx (4) √√x(x²+1) (3) y=2sinx (6) y=log{e*(1-x)} 3x+2 x(x + 1)² // -dx ³dx< 1/1/ g(sinx+cosx)dx< [11 △ABCにおいて, AB=2, AC=1,∠A=xとし, f(x)=BC とする。 次の問いに答え よ。 (1) f(x) をxの式として表せ。 (②2) △ABCの外接円の半径をRとするとき, f(x) を R で表せ。 (3) on f(x)の最大値を求めよ。 12 次の関数を微分せよ。 ただし, (1)~(4) では x>0 とする。 (1) y=xs ysinx (2) y=x** (3)y=xlog* (4) y=x² (5) y=(sin x) (0<x<*) (6) y = (logx)* (x>1) 情け無用の100問組手! 鬼の微積分演習 13 次の不定積分を求めよ。 x3 (1) √√√x ² + 1 dx x2+1 nは2以上の整数とする。 次の等式が成り立つことを証明せよ。 cos"xdx= =1/{sin xcos"-' x+(n-1)| cosm-2xdx} 16 次の定積分を求めよ｡ (1) Sx4dx 15 関数 y=ersin bx について,次の問いに答えよ。ただし, a,bは定数とする。 (1) y" を求めよ。 (②2) y” を, x を用いずにy を用いて表せ。 y” ·S= 17 不定積分 e 2x e +2 1 1– sin t f(x)+ (2) Solcos2dx 18 次の2つの等式を満たす関数f(x), g(x) を求めよ。 +So (f(t)-g(t)dt=1, g(x)+Sols( (3) -dx を求めよ。 |20 F(x)= log.x xlogx-1dx (3) Solsin (3) f(1),((1) の値に注意することにより, lim- (4) f(x) を求めよ。 0 |sinx+cosx|dx (f(t)+g'(t)dt=x2+x 119 f(x) は x>0 で定義された関数で, x=1で微分可能でf'(1)=2 かつ任意のx>0,y>0 に対して f(xy)=f(x)+f(y) を満たすものとする。 (1) f(1) の値を求めよ。また,これを利用して,(1) をf(x) で表せ。 (②2) (4) f(x)とf(y) で表せ。 2b P4-8V Į m f(x+h)-f(x) h をxで表せ。 =Stf(x-1)d tf(x-t)dt であるとき, F''(x)=f(x) となることを証明せよ。 S=

練習36がわからないです。

10 <補足>xの関数f(t)dt の導関数をxJa 練習 36 xの関数 S (32-2t-1)dt の導関数を求めよ。 応用 次の等式を満たす関数f(x) と定数αの値を求めよ。 例題

解答お願いします

① 関数y=x2 cos xのn次導関数y (n) を求めよ. ② 関数f(x)= 1 x2+5x+6 に対して, (n-1) 次までのマクローリン展開を求めよ.

解答お願いします

① 関数y=x2 cos xのn次導関数y (n) を求めよ. ② 関数f(x)= 1 x2+5x + 6 に対して, (n-1) 次までのマクローリン展開を求めよ.

f(x)^aを微分したものが下の画像なんですが、f’(x)はどこから出てきたんでしょうか？

導関数 ə — (f(x)ª) = a f(x)ª-1 f'(x) əx

至急です。なぜ、逆関数ではx＝tanyが成り立つのでしょうか。解説出来る方、お願いします。

= (²+¹) ² 19 139 種々の関数の導関数, 第2次導関数 (0<x< 1/7) y=tan.x で表せ。 [2]x=3t, y=9t+1 のとき, き x=tany すことができる。 d'y d/dy (2) dx² OLUTION CGEART OS (1) 高校数学の範囲では, y = tanx の逆関数は求められないが, y=g(x) のと dy 101 dx dx を利用すると,g(x) をxの式で表 dy 10<x<1のとき dxdx 172/6, J37 であることから, ゆえにg'(x)= dx-9t², 2=91², (2) dt (dx)=- の逆関数を y=g(x) とするとき, g'(x) をxの式 D tanx>0 dy_1 dx cos2y=- == d (dy dt dt dx dx よって, y=g(x) において, x>0,0<y</であり、 80 x=tany が成り立つ。 (x) dx dy d'y dx² dx dx d'y dx2 dy=9 であるから dt 1 cos2y d - d (dx)= a (2) = dx dt 1/ ( 7 ) . dt to dx 1+tany 1+x² をtの式で表せ。 dy dx 2 7/13 - 1²/2=-275 9t² 9t5 (iniai+1200)n-z] を利用。 1 97² = 7/2 2 xd- KO+x+x) | 基本 124,138 f(x)=tanx とすると g ¹(x)=f(x) y=g(x) において x=g(y)=f(y) =tany I ↓ (2) la は d²y | d (12) dx2 ないことに注意する。 dy dx SET dt dx をxで微分。 合成関数の微分。 13 (0) 1 dx dt では 217 5

なぜこの問題では最後に逆の確認が必要なんですか？x^3の係数が正で、導関数f'(x)=0が異なる２つの実数解x=-1,3をもつのでx=-1で極大値、x=3で極小値をとるのは明らかだと思うのですが、、、

例題 208 極値より関数の決定 3次関数f(x)=x3+ax²+bx+c は x=-1 で極大値をとり, x=3 で極小値-25をとる. 定数a,b,cの値と極大値を求めよ. ( 足利工業大) 考え方 与えられた条件より, 増減表をかく. x=-1で極大値をとる” 10m x=3 で極小値-25をとる” ■解答 y=f(x)の増減表が右の ようになるときを考える. ()>(E\ƒ(x)=x³+ax²+bx+c また,f'(x)=0 であっても, x=αで極値をとるとは限らない。さらに,極値が極大値 (8) か極小値かの判定もできないので、 確認が必要である. f(-1)=0 で, x=-1の前後でf'(x) の符号が正か ら負に変わる。 Focus f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の 符号が負から正に変わる. ... 練習 [208] *** f'(x) + より,f'(x)=3x2+2ax+bf(x) 極大 増減表より、 f'(-1)=3-2a+b=0 -1 3 0 2 0 + 極小 -25 f' (3) = 27+6a+b=0%(1+x f(3) = 27+9a+36+c = -25 11 ①, ②, ③ を解いて, a=-3, b=-9, c=2 また,このとき, f(x)=x²-3x²-9x+2 > ......1 …. ③ f'(x)=3x2-6x+9=3(x+1)(x-3) より,増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3 で極小値-25 を確かにとる。 極大値は, f(-1)=-1-3+9+2=7 よって a=-3, b=-9, c=2, 極大値70で *** NICO y=f(x)がx=α で極値をとる f'(a)=0 f' (α)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない ① ② から α, bを 求め③に代入する。 求めたa,b,cの値 のときに x=-1 で 極大値, x=3 で極 小値-25をとるか 確かめる. 注) 例題208 で, 「x-1で極小値x=3で極大値25」という条件でも、 ① ② ③の 式が出てくるが、そのとき, 求まる a,b,c は、この条件を満たさない。 つまり①②からは x=-1, 3 で f'(x)=0 となること ③ からは点 (3, -25) を 通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である. 注 極値をとるときのxの値x=-1, 3 は、 f'(x)=0 の2つの解であることから、解と 係数の関係を用いて α, 6の値を求めてもよい。 (1) 関数f(x)=x3+ax²+bx+c は x=1で極大値2をとり, x=3で極小値 をとる. 定数 α, b, c の値を求めよ. 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるという. ま その極大値は2で極小値は-2であるという. このとき、条件を満た す関数f(x) をすべて求めよ. 1x25x1 p.389

なぜこの問題では最後に逆の確認が必要なんですか？x^3の係数が正で、導関数f'(x)が異なる２つの実数解x=-1,3をもつのでx=-1で極大値、x=3で極小値をとるのは明らかだと思うのですが、、、

例題 208 極値より関数の決定 3次関数f(x)=x3+ax²+bx+c は x=-1 で極大値をとり, x=3 で極小値-25をとる. 定数a,b,cの値と極大値を求めよ. ( 足利工業大) 考え方 与えられた条件より, 増減表をかく. x=-1で極大値をとる” 10m x=3 で極小値-25をとる” ■解答 y=f(x)の増減表が右の ようになるときを考える. ()>(E\ƒ(x)=x³+ax²+bx+c また,f'(x)=0 であっても, x=αで極値をとるとは限らない。さらに,極値が極大値 (8) か極小値かの判定もできないので、 確認が必要である. f(-1)=0 で, x=-1の前後でf'(x) の符号が正か ら負に変わる。 Focus f'(3)=0, f(3)=-25 で, x=3の前後でf'(x) の 符号が負から正に変わる. ... 練習 [208] *** f'(x) + より,f'(x)=3x2+2ax+bf(x) 極大 増減表より、 f'(-1)=3-2a+b=0 -1 3 0 2 0 + 極小 -25 f' (3) = 27+6a+b=0%(1+x f(3) = 27+9a+36+c = -25 11 ①, ②, ③ を解いて, a=-3, b=-9, c=2 また,このとき, f(x)=x²-3x²-9x+2 > ......1 …. ③ f'(x)=3x2-6x+9=3(x+1)(x-3) より,増減表は上のようになり、x=1で極大値、x=3 で極小値-25 を確かにとる。 極大値は, f(-1)=-1-3+9+2=7 よって a=-3, b=-9, c=2, 極大値70で *** NICO y=f(x)がx=α で極値をとる f'(a)=0 f' (α)=0 であっても, f(α) は極値とは限らない ① ② から α, bを 求め③に代入する。 求めたa,b,cの値 のときに x=-1 で 極大値, x=3 で極 小値-25をとるか 確かめる. 注) 例題208 で, 「x-1で極小値x=3で極大値25」という条件でも、 ① ② ③の 式が出てくるが、そのとき, 求まる a,b,c は、この条件を満たさない。 つまり①②からは x=-1, 3 で f'(x)=0 となること ③ からは点 (3, -25) を 通ることしかわからないので、 実際に条件を満たすかどうかの確認が必要である. 注 極値をとるときのxの値x=-1, 3 は、 f'(x)=0 の2つの解であることから、解と 係数の関係を用いて α, 6の値を求めてもよい。 (1) 関数f(x)=x3+ax²+bx+c は x=1で極大値2をとり, x=3で極小値 をとる. 定数 α, b, c の値を求めよ. 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d は x=1, 3 で極値をとるという. ま その極大値は2で極小値は-2であるという. このとき、条件を満た す関数f(x) をすべて求めよ. 1x25x1 p.389

曲線の概形をかけ。第2次導関数も計算し、凹凸についても調べること。という問題です。 誰か回答をお願いします。