放物線C:y=x? と直線:y=mn(x-1) は異なる2点A, Bで交わってい
指針>(1) 放物線と直線の方程式からyを消去したxの2次方程式(これを①とする」。
162
放物線の弦の中点の軌跡
基本 107
重要例題 110
2直
(1) 定数 m の値の範囲を求めよ。
m の値が変化するとき, 線分 ABの中点の軌跡を求めよ。
(北)
放物線と直線が異なる2点で交わる→ D>0
指
(2) 線分 ABの中点の座標を(x, y) として,次の方針で進める。
1 xとyをつなぎの文字 m で表す。
2 mを消去してx, yだけの式を求める。
このとき,(1)より m に制限がつくから,軌跡は曲線の一部になる。
式をDとすると
.2次方程式①で解と係数の関係。
解答
直線y=m(x-1)は、
値にかかわらず。 点い
x=m(x-1)
(1) y=x° と y=m(x-1)から
整理すると
x?-mx+m=0
Cとlは異なる2点で交わっているから,①の判別式Dに
D=(-m)°-4m==m(m-4)>0
を通る。
ついて
t3 ()
よって
m<0, 4<m
(2) 2点A, Bのx座標は, 2次方程式1の異なる2つの実数
の解 a, Bである。
線分 AB の中点をP(x, y) とすると, 解と係数の関係から
4
A
P(x,y)
α+B
x=
2
m
2
また,P は直線l上の点であるから
0
ソ=m(x-1)=ml
{-1)=mーm
3
2
2から
m=2x
2
3に代入して整理すると
また,(1)の結果と ②'から
ソ=2x°-2x
くつなぎの文字 m
2x<0, 4<2x
したがって
x<0, 2<x
よって,求める軌跡は
放物線y=2c°-2.c の x<0, 2<rの部分
参考 3は
としてもよい。
α+8_(α+B)°-2aB_m'-2m
ソ=
2
AA, Bは放物線
あることから。
2
2
練習
放物線C:y=x-xと直線2:y=m(x-1)-1は異なる2点A, Bで
イ10
