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基本例 223 係数に文字を含む3次関数の最大・最小
αを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax2+ax≦x≦1 における最大
基本 219 重要 224
値 M (α) を求めよ。
[類 立命館大 ]
指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で,極値と区間の
端での関数の値を比べて最大値を決定する。
f(x) の値の変化を調べると, y=f(x) のグラフは右図のよう
になる(原点を通る)。ここで,x=1/3以外にf(x)=f(1/3)を
満たすx (これをαとする) があることに注意が必要。
よって、1/3,α (1/3 <α)が区間 0≦x≦1に含まれるかどうか
で場合分けを行う。
YA
O
Halm
aax
3
f'(x)=3x2-4ax+α²=(3x-a)(x-a)
解答 f'(x) = 0 とすると
a
x=
a
α > 0 であるから, f(x) の増減表は次のようになる。
a
x
...
2-3
f'(x) + 0
a
0 +(0)
f(x) 極大 極小>>(0)
ここで,f(x)=x(x2-2ax+α²)=x(x-a)' から
2
2
4
ƒ(3) = (-a)² = 17a³, ƒ(a)=0
x=1/3以外にf(x)=1/27 を満たすxの値を求めると,
f(x)=から
4
x-2ax2+ax-
x-a-03
まずは, f'(x)=0を満た
すxの値を調べ, 増減表
をかく。
<a>0 から
0<<a
3
* 曲線 y=f(x) と直線
y=は,x=1/2の
点において接するから,
f(x)/(x)
で割り切れる。このこと
を利用して因数分解する
とよい。
23
27
ゆえに (1/3)(x-/1/30) 0
(*)
1-0
1-2a
a²
1283
aa
5
a²
3
9
27
4
a³
xキ
x= 1/32 であるから
x=
a
5
4
a
1
a
02
0
よって, f(x) 0≦x≦1における最大値M (α) は,次のよ
うになる。
3
9
a
4
92
3
9
4
1
[1]
1</1/3 すなわち α>3のとき,[1]
a 0
3
f(x) は x=1で最大となり
M(a)=f(1)
a2-2a+1
-最大
指針」
[1] は区間に極値をとる
xの値を含まず,区間の
右端で最大となる場合。
★の方針。
O
0
