FO CP
26 第1章 式と証明
標問 8 整式の割り算 (2)
(1) 整式P(x) を (x+2) で割ると余りがx+3 であり, x+4 で割ると余
りが-3である.P(x) を (x+2)(x+4) で割ったときの余りを求めよ.
(佐賀大)
(2) 整式x+ax+ax+bx-6が整式 2-2x+1 で割り切れるとき α
(千葉大)
b の値を求めよ.
○精講
(1) P(x) を3次式で割るのですか
ら、求める余りは2次以下の整式で
す。
` (2) 整式 P(x) が2次式 (x-1)^2で割り切れる
ということは, P(x) が1次式 (x-1) で割り切れ,
そのときの商も(x-1)で割り切れるということ
です。
解法のプロセス
(1) 3次式で割ったときの余り
は、2次以下の整式
↓
余りをax+bx+c とおく
(2) x-1で2回割る
解答
(1) P(x) を(x+2)(x+4) で割ったときの商をQ(x), 余りをax+bx+c
おくと
←余りは2次以下の整式
P(x)=(x+2)(x+4)Q(x)+ax+bx+c
P(x) を (x+2)2で割った余りx+3 は, ax2+bx+c を (x+2) で割っ
余りでもあるから
ax²+bx+c=a(x+2)2+x+3
. P(x)=(x+2)(x+4)Q(x)+α(x+2)2+x+3
P(x) を x+4 で割った余りは3であるから, 剰余定理より
.P(-4)=-3 .. a(-2)²-4+3=-3
:: a =_ _1C
2
-x²-x+1=(x))
よって、求める余りは1/12(x+2) 2+2+3=-2123-
(2) P(x)=xª+ax³+ax²+bx−6 ≥‡<. P(x) 7³ x²−2x+1=(x−1)² ·
り切れるためには, P(x)がx-1 で割り切れることが必要であり,
P(1)=0 ∴.2a+6-5=0
b=5-2a
av-evo
このとき
P(x)=x¹+ax³+ax²+(5-2a)x-6
2
= (x−1){x³+(a+1)x²+(2a+1)x+6} ......(*)
よって,Q(x)=x2+(a+1)^²+2a+1)x+6 とおくと, P(x) が
◆P(x) は (x-1)を因数
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