基本 例題48)オイラーの多面体定理, ねじれの位置。
|エ個ある。
止八面体は,頂点の数が「ア個、辺の数が[イウ本,面の数か
「イウ「本の辺のうちの1本を ABとするとき,辺 ABと平行な辺は オ「本,
辺 AB と垂直な辺は
辺 キ|本ある。
カ」本,辺 ABとねじれの位置にある辺は
POINT!)
オイラーの多面体定理
頂点の数を v, 辺の数を e, 面の数をfとすると ひe+f=2
異なる2直線l, m について
eとmが平行→eとmが同じ平面上にあって交わらない。
eとm が垂直 →とmのなす角が直角。
eとmがねじれの位置にある →と mが同じ平面上にない。
解答 右の図から頂点はア6個,
辺の数はイウ12本,
面の数は I8個である。
図のように点をとると,
辺 AB と平行な辺は,辺FDのオ1本
辺 AB と垂直な辺は,辺 ADと
辺 BF の カ2本
辺ABとねじれの位置にある辺は,辺 CD, 辺 ED,
辺 EF, 辺 CF の キ4本
0=ズ
B
E
-6-12+8=2が成り立つ。
→参考(上)
D
全平行→同じ平面上にあっ
て交わらない
異 O円 垂直 →なす角が直角
→参考(下)
やねじれの位置→同じ平面
上にない
参考 オイラーの多面体定理は, 検算に用いたり, 複雑な立体図形の場合など数え
にくいときに用いると便利である。例えば, 本間の場合, 頂点の数と面の数は数え
n+8=2からe=12 と求めてもよい。
平丘+
