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14
第1章 式と証明
基礎問
6 分数式の計算 7/8823
次の各式を簡単にせよ.
(3)
15
1
1
1
+
T x+2 x+1
(x+2)-x(x+3)-(x+1)
+
x(x+2)
の異なるものど
うしを組み合わせる
(x+1)(x+3)
ことが基本
第1章
1
1
1
(1)
+
+
(x-1)xx(x+1)
(2)
+
IC
(x+1)(x+2)
x+1 x+2x+3 x+4
x+1 x+2x+3
土
1
2
4
(3)
+
+
+
1-x
1+m2
1+m
1+x
=
{(x+2)+(x+1)(x+3)}
2(2x2+6x+3)
x(x+1)(x+2)(+3)
組み合わせを変えると, 分子が複雑になります.たとえば,
1
1
1
IC
3
1
x+3x(x+3)'x +1 x+2
(x+1)(x+2)
1
1
(3)
2
4
+
+
+
精講
分数式の和, 差は通分する前に, いくつかのことを考えておかない
と, ほう大な計算量になってしまいます。
1-x
1+x 1+x2 1+x4
(1+x)+(1-x) 2
4
2
+
2
+
1-x2
特殊な技術 (>(1) 「部分分数に分ける」) を用いる場合はともかく,
最低、次の2つは確認しておきましょう.
I. 「分子の次数」 < 「分母の次数」の形になっているか?
Ⅱ. 部分的に通分をしたらどうなるか?
(2つの項の組み合わせを考える)
解答
1+m² 1+x 1-x 1+m² 1+x¹
+
2{(1+x2)+(1-x2)} 4
+
(1-2) (12) 1+x4 1 I' 1+x4
4
+
4{(1+x)+(1-x)} 8
=
(1-x)(1+x) 1-x8
<(x)はxxl6で
はない!
参考
スポーツの大会で, 強いチームはシードされて2回戦から登場する
ことがあります. このイメージで下図の組合せを捉えるとよいでし
ょう。
(1)
(x-1)x
1
1
1
1
1
1
=
=
x-1 x' x(x+1)
IC
x+1'
1
1
=
x+1
x+2
だから (注)
(x+1)(x+2)
(与式) = ( x-1
1
x-1 x+2
x+1, \x+1 x+2)
(x+2)-(x-1).
3
(x-1)(x+2) (x-1)(x+2)
注 この作業は「部分分数に分ける」 と呼ばれるもので,このあとの
「数列」の分野でも必要になる計算技術です。
(2)与式)=(1+1/2)+(1+2+1)(1+1+2)-(1+2+3) 分子の
1
1
1
+
1
IC x+1 x+2 x+3
次数を
下げる
1次式 1次式 1次式 1次式 1次式 1次式 2次式 4次式
ポイント
分数式の和差は通分する前に項の組み合わせを考える
演習問題 6
次の各式を簡単にせよ.
+
+
x-2 x-3 x-4
(1)
3x-14 5x-11 x-4 8-5
x-5
bc
ca
ab
+
(2) (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a) (c-a)(c-b)
