練習は自然数とする。 次の不等式を証明せよ。
12
137 (1) 227-1
[名古屋市大〕
証明する不等式を①とする。
(1) [1] n=1のとき
(左辺)=1!=1, (右辺)=2°= 1
よって, ① は成り立つ。
(2) n10のとき2" > 10²
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
k! ≥2-¹
(2)
******
n=k+1のとき, ① の両辺の差を考えると､②から
(k+1)!-2(k+1)-1=(k+1)・k!-2*
≥(k+1)-2-¹-2-2-1
= (k-1).2k-¹20
ゆえに
(k+1)!≥2(k+1)-1
よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについては成り立つ。
[13
10の
茨城大)
←AB の証明-
A-BZ0 を示す。
-
←k+1>0, ② から
(k+1)-k!2 (k+1)-24-1
←出発点に注意。
