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基本例題 85 座標を利用した証明 (2)
△ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
解答
∠A を最大角としても一般性を失わな
い。このとき, ∠B <90° ∠ C <90°
である。
■ 直線BC をx軸に、辺BCの垂直二等
分線を軸にとり, △ABCの頂点の
座標を次のようにおく。
指針 p.117 基本例題 72 と同じように、計算がらくになる工夫をする。
座標の工夫 ①1 座標に0を多く含む
②2 対称に点をとる
この例題では,各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから、各辺の中点の座標に分数が
現れないように, A(2a, 26), B-2c, 0), C(2c,
0) と設定する。
なお,本問は三角形の外心の存在の, 座標を利用した証明にあたる。
A(2a, 2b), B(-2c, 0), C(2c, 0)
B
-=-1より
-x+·
-2c
N
ya
A
K
OL
A(2a, 2b)
m=-
ただし a≧0,6>0,c>0
また, ∠B <90°, ∠ C < 90° から, a≠c, aキーc である。
更に、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL,M,Nとする
と, L(0, 0), M(a+c, b), N(a-c, b)
と表される。
辺ABの垂直二等分線の傾きをm とすると, 直線AB の傾き
b
であるから,mo
a+c
は
b
a+c
a+c
b
よって, 辺ABの垂直二等分線の方程式は
a+c
y-b=- -(x−a+c)
b
M
C
2cx
a+c a²+6²-c²
すなわち y=-
x+
b
辺AC の垂直二等分線の方程式は、①でcの代わりに -c と
おいて
y=-
a-c a2+62-c2
b
b
2 直線 ① ② の交点をKとすると, ①, ② のy切片はともに
a²+62-2
b
であるから K(0, + B-²°)
点K は, y 軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから,
△ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
00000
基本 72
注意 間違った座標設定
例えば, A(0,b), B(c, 0),
C-c, 0) では, △ABCは
二等辺三角形で、特別な三角
形しか表さない。
座標を設定するときは, 一般
性を失わないようにしなけ
ればならない。
証明に直線の方程式を使用
するから 分母=0 となら
ないように,この条件を記
している。
0-26
b
-2c-2a a+c
点N (a-c, b) を通り, 傾
きー
a+c
b
の直線。
辺ACの垂直二等分線は,
傾き
b
a-c
の直線AC に
垂直で,点M(a+c, b) を
通るから, ① でcの代わ
りに -c とおくと,その方
程式が得られる。
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3章
13
直線の方程式、2直線の関係
