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の方針で進める。
一辺々を加えてみる。
(2) も同様
O
検討
③の左辺は
形 (x y zxとお
式が得られる)にな
循環形式は
引いたり
やすくなることが
* z = 3:2:4 から
+2.4+4-3
+22+42
き ①.②
a, c+α=
々を引いて
a-b)
33
200
重要 例題 25
α, b,c は実数とする。
指針
練習
4 25
少なくとも~, すべての〜の証明
することもでき (1) P=(a-1)(b-1) (c-1) とすると
→a=0 かつ
6=0 かつ
解答
(1) abc=1, a+b+c=ab+bc+ca のとき, a, b,cのうち少なくとも1つは1
であることを証明せよ。
(2) a+b+c=ab+bc+ca=3のとき, a, b,c はすべて1であることを証明せよ。
まず結論を式で表すことを考えると,次のようになる。
(1)a,b,cのうち少なくとも1つは1である
⇔a=1 または b=1 またはc=1
⇔a-1=0 または 6-1=0 または c-1=0
⇒ (a-1)(b-1)(c-1)=0
(2) a,b,c はすべて1であるα=1 かつ b=1 かつc=1
三があるから、
+cで割っ (2) Q=(a-1)+(6-1)+(c-1)2 とすると
⇔a-1=0 かつ 6-1=0 かつc-1=0
⇒ (a−1)²+(b−1)²+(c-1)²=0
よって,条件式から,これらの式を導くことを考える。このように、結論から方針を立て
ることは,証明に限らず、 多くの場面で有効な考え方である。
CHART 証明の問題 結論からお迎えに行く
P=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
abc=1とa+b+c=ab+bc+ca を代入すると
P=1-(a+b+c)+(a+b+c)-1=0
よって
α-1=0 または 6-1=0 またはc-1=0
したがって, a,b,cのうち少なくとも1つは1である。
Q=a²+b²+c²-2(a+b+c)+3
ここで,(a+b+c)=a²+b2+c2+2(ab+bc+ca) であるから
a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)=3²—2·3=3
ゆえに
よって
したがって, a, b, c はすべて1である。
Q= 3-2・3+3=0
α-1=0 かつ 6-1=0 かつc-1=0
0000
1
a+b+c
ABC=0
⇔A = 0 または B = 0
またはC=0
A2+B2+C2=0
⇔A=B=C=0
ヨ
1章
5等式の証明
よ。
a, b, c, d は実数とする｡
111_
(1)
+ + =
a
C
ことを証明せよ。
(2) ²+B2+c^²+d²=a+b+c+d=4のとき, a=b=c=d=1であることを証明
せよ。
Op.46 EX17
のとき, a,b,cのうち、どれか2つの和は0である
2)
a³ + b²+c²+
b
+
1
C
a
(a+b+
{a+(b-
(b+c)c
(b+c)
(b+c)
b+c=
a, b, c
2-1)²+(1
2+6²+c²
a−1=
5 a=b:
のことを
amb, x
2a>b>
-2by)-
