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重要 例題 9 既約分数の和
pは素数m,n は正の整数でm<nとする。 mとnの間にあって, pを分母と
する既約分数の総和を求めよ。
基本 6,7
指針 まず,具体的な値で考えてみよう。 例えば,2と5の間にあって3を分母とする分数は
8 9
7. 7. 7. 10. 12. 13. 14.
11
3'3' 3' 3'3'3
3
であり,既約分数の和は(*)の和から, 3と4を引くことで求められる。
このように、全体の和から整数の和を除く方針
で求める。
まず,g を自然数として,<_<n を満たす
解答する。
pm<g <pnであるから
g_pm+1 pm+2
よって
か
か
これらの和を とすると
S₁=
①のうち,
=1+11-0
g=pm+1,pm+2,......, pn-1
(pn-1)-(pm+1)+1
2
pn-pm-1
2
=
p
(m+n)
が整数となるものは
これらの和を S2 とすると
S2=
_=m+1, m+2, ….…,
p
n-m-1
2
pm+1
Þ
2
S= pn-pm-¹ (m+n) - ²
2
pn-1
か
n-1
(n-1)-(m+1)+1{(m+1)+(n-1)}
2
-1/12 (m+n)(n-m) (p-1)
L (*)は等差数列であり,3と4は
2と5の間にある整数である。
+
初項川未
n-m-1
2
(m+n){(n_m)p−(n_m)}
-を求め
· pn-1)
0>1+nd
-(m+n)
ゆえに, 求める総和をSとすると, S=S-S2 であるから
-(m+n)
｢mとnの間」であるか
ら、 両端のmとnは含
まない。
pm+1
か
の等差数列。
① 初項
S=
2
((-)-(1-x) Fuck Sin-
公差 1
-n(a+l)
mとnの間にある整数。
◄ S₁ ==—= n(a+l)
(全体の和) (整数の和)
