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127 和と一般項
Snを含む漸化式
数列{an} の初項から第n項までの和 Snが
Sn=-6+2n-an (n≧1)
で表されている.
(1) 初項 α を求めよ.
(2)
an と an+1 のみたす関係式を求めよ.
(3)
anをnで表せ.
数列{a} があって,
精講
a1+a2+... +an=Sn
とおいたとき, an と Sn がまざった漸化式がでてくることがありま
す. このときには次の2つの方針があります.
I.αの漸化式にして, an をnで表す
Ⅱ. S の漸化式にして, S をn で表し, an をn で表す
このとき,I,II どちらの場合でも次の公式が使われます.
n≧2 のとき, an=Sn-Sn-1, a1=
(n=1のときが別扱いになっている点に注意)
解 答
Sn=-6+2n-an (n≧1) ......①
(1) ① に n=1 を代入して,
S=-6+2-a
a=S, だから, a1=-6+2-a1, 2a=-4
∴.α=-2
(2) n≧2 のとき, ①より,
Sn-1=-6+2(n-1)-αn-1
.. Sn-1=2n-8-an-1 ...... ②
①-② より
Sn-Sn-1=2-an+an-1
∴. an=2-an+an-1
<S-S-1 = an
.
an=
=1/12am-1+1 (n≧2)
に1/20
よって, an+1=1an+1 (n≧1)
(別解) ①より, Sn+1=-6+2(n+1)-an+1 ......②'
②① より,
Sn+1-Sn=2-an+1+an
. an+1=2-an+1+an
1
.. an+1= +1
(3) an+1=-
1
gan+1 より an+1-2=
また, α-2=-4 だから,
=(an-2
(an-2)
<a=1α+1 の解
α=2 を利用し
n-1
an-2=(-4)
an+1Q=
an-α)
4
1
..
an=2-
2-1
-=2-
と変形
2-3
ポイント
(すなわち, 和) のからんだ漸化式から記号を消
したいとき,番号をずらしてひけばよい
注 ポイントに書いてあることは,
に書いてある公式を日本語で表した
ものです. このような表現にしたのは,実際の入試問題は |の公式の形
で出題されないことがあるからです. (演習問題127(2))
演習問題 127
(1) 数列 {a} の初項から第n項までの和 S が次の条件をみたす.
Si=1, S+1-3Sn=n+1 (n≧1)
(i) Sn を求めよ. (ii) an を求めよ.
(2)a=1,2kan=nan (n≧1) をみたす数列{an) について,
k=1
の問いに答えよ.
