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第7章 数
列
基礎問
136 確率と漸化式
ている。この袋の中から, 1枚カードを取り出し, それにかかれ
た数字を記録し,もとにもどすという操作をくり返す. 1回目か
袋の中に 1, 2, 3, 4, 5の数字のかかれたカードが1枚ずつ入っ
らん回目までに記録された数字の総和をSとし, Snが偶数であ
る確率を pn とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 1, P2を求めよ.
(2)+1 をnで表せ.
(3) pnnで表せ.
精講
(1) 確率の問題ではこのような設問がよく見受けられますが,これ
は単に点数をあげるための設問ではありません.これを通して問
題のイメージをつかみ, 一般的な状態 ((2))での考える方針をつかんでほ
しいという意味があります.
(2) 確率の問題で漸化式を作るとき,まず, 確率記号の右下の文字(添字) に着
目します.ここでは,nn+1の関係式を作るので, n回終了時の状況を
スタートにして, あと1回の操作でどのようなことが起これば、目的の事態
が起こるか考えます. このとき,図で考えると式が立てやすくなります。
(3) 漸化式の処理ができれば,何の問題もありません。
解答
(1) (p1 について
1回目に2か4のカードが出ればよいので,p=
(p2 について
次の2つの場合が考えられる.
① 1回目が偶数のとき、 2回目も偶数
② 1回目が奇数のとき 2回目も奇数
①,②は排反だから,
3
p2=
3
13
+
5
5
25
25
数字ではなく
偶奇で考える