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p.35 基本
等差数列
等比数列
る。
まねる。
47
重要 例題 28S2m, S2m-1 に分けて和を求める
一般項がαn=(-1)"+1n2 で与えられる数列{a} に対して, S,=
(1) azx-1+a2k(k= 1, 2, 3, ......) をを用いて表せ。
(2) Sn= (n=1, 2, 3, ..... と表される。
00000
akとする。
k=1
針(2) 数列 (an)の各項は符号が交互に変わるから、和は簡単に求められない。
次のように項を2つずつ区切ってみると
S=(12-22)+(32-42)+(52-62)+......
=b2
かえ hey hey
m = B
5+5
=bs
上のように数列{bm} を定めると,b=azk-1+a2k(kは自然数) である。 よって,m
を自然数とすると
[1] n が偶数, すなわち n=2mのときはSm=
られる。
=bx=(2-1+a)として求め
k=1
(1
1
章
③種々の数列
[2]n が奇数, すなわち n=2m-1のときは, S2m=S2m-1+a2m より
S2m-1=S2m-a2m であるから, [1] の結果を利用して S2m-1 が求められる。
このように, nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める。
(1) α2k-1+αzk=(-1)2k(2k-1)^+(−1)2k+1(2k)2
かりやすい。
数が同じ項を
ここそろえて書く
初項3, 公
-1 の等比数
解答
(2) [1] n=2m (mは自然数) のとき
=(2k-1)^(2k'=1-4k
(a2k-1+a2k)=(1-4k)
m-4.
k=1
123mm+1)=2m²-m
02m
k=1
n
m
であるから
2
n
Sp=-2(2)² - 2 = n(n+1)
[2] n=2m-1 (mは自然数) のとき
azm=(-1)2m+1(2m)=-4m² であるから
S2m-1=S2m-Am=-2m²-m+4m²=2m²-m
(-1)=1, (−1)奇数=-1
<={(2k-1)+2k}
×{(2k-1)-2k}
Szm= (a1+a2)
+(a3+α)+....
+ ( a2m-1+azm)
Sm=-2m²-mに
=77 を代入して,n
m=
の式に直す。
<S2m=S2m-1+a2m
を利用する。
ノール
は等
n+1
m=
であるから
2
S=2(n+1)+1=1/2n
(n+1){(n+1)-1}
S2m-1=2m²-mをnの
式に直す。
(*) [1] [2] のS” の式は
符号が異なるだけだから,
2(n+1)
[1], [2] から Sn=
(−1)"+
-n(n+1)
(*)
2
(*)のようにまとめるこ
とができる。
練習 一般項がαn=(-1)"n(n+2) で与えられる数列{an} に対して,初項から第n項ま
③ 28 での和 S” を求めよ。
