（2）なのですがy'>＝0なのにD <＝0になるのはなぜですか？グラフ書いていただけると助かります！

221 関数の増減 極値 (1)関数y=-2x+3x²-6は,x=で極大値をとり x= で極小値 をとる。 (2) 関数 y=x + kx2 + 3x +1 が常に単調に増加するとき, 定数の値の範 囲は である。 (3) 関数f(x)=x+ax2+bx-5 が x=-3 と x=1で極値をとるとき, であり,極大値は極小値はであ a= る。 b=4[

⑴なのですがaの範囲を求めに行く過程で模範解答とは違って判別式を使ってときました。答えは合っているのですが考え方として合っているのか心配です。判別式で解いても問題ないのでしょうか。またこの答え方で減点なく丸が貰えますか。この二つ、よろしくお願いします。

演習 例題 131 2つの2次関数の大小関係 (1) 00000 2つの2次関数f(x)=x2+2ax+25,g(x)=-x2+4ax-25 がある。 次の条件が 成り立つような定数αの値の範囲を求めよ。 (1) すべての実数xに対してf(x)>g(x) が成り立つ。 (2)ある実数xに対してf(x) <g(x) が成り立つ。 基本115 f(x うな ((1) 指 指針 y=f(x), y=g(x) それぞれのグラフを考 えるのではなく,F(x)=f(x)-g(x) とし, f(x), g(x) の条件をF(x) の条件におき 換えて考える。 (1) y=f(x) y=F(x) (1) すべての実数xに対してf(x)>g(x) すべての実数xに対してF(x)>0 y=g(x)/ + (2) (2)ある実数xに対してf(x)<g(x) y=f(x) y=F(x) ⇔ある実数xに対してF(x) <0 大 このようにおき換えて, F(x) の最小値を 考えることでαの値の範囲を求める。 小 y=g(x) O [補足] 例題 115 で学んだように, 判別式D の符号に着目してもよい。 F(x)=f(x)-g(x) とすると 解答 F(x)=2x2ax+50=2(x-2) - 10/27 +5 - 0²- 50 (1) すべての実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つことは, すべての実数xに対してF(x)>0, すなわち [F(x) の最小値] > 0 が成り立つことと同じである。 F(x)はx=1/2で最小値 a² 2 +50 をとるから a² - +50> 0 よって1012+5 - よって (a+10)(a-10)<0 ゆえに -10<a<10 (2)ある実数xに対してf(x) <g(x) が成り立つことは, ある実数xに対してF(x) < 0, すなわち [F(x)の最小値] <0 が成り立つことと同じである。 a² +50<0 晶検討 「ある xについて が成り立つ」と は よって a<-10, 10<a ゆえに (a+10)(a-10)>0 を満たす が少なくとも1つ あるということ である。 ④ 131 つような定数kの値の範囲を求めよ。 練習 2つの2次関数f(x)=x2+2kx+2, g(x)=3x2+4x+3がある。 次の条件が成り立 (1) すべての実数xに対してf(x) <g(x)が成り立つ。 (2)ある実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つ。

（2） →矢印の変形はどうしてするのでしょうか?？ ∮aからxの形で使わなければならない？？？でもxからaだとダメな理由を教えてください。お願いします

380 基本 例 242 定積分と微分法 (1) SF(1)dt=x-3x-4 次の等式を満たす関数f(x) および定数aの値を求めよ。 (2) 1000 (t)dt-x-3x 指針 とすると であるから, off(t) dt=f(x)が成り立つ。 a が定数のとき,s (1) dt は xの関数である。 その導関数について,F( dx) (t)= [F(1) = x (F(x) F(a))=F(x)=(x) 0.374 dx また、等式で x=α とおくと, f(t) dt=0 であるから, 左辺は0になる。 これより αの方程式が得られる。 (2) まず,与えられた等式を f(t)dt=-x+3x と変形して, 両辺をxで微分 定数F (α) はxで微分すると、 CHART 定積分の扱い SS"を含むならxで微分 (1) Sof(t)dt=x-3x-4 ① とする。 解答 ①の両辺をxで微分すると dx Ja ds.f(t)dt=2x-3 すなわち f(x)=2x-3 また, ① で x=α とおくと, 左辺は0になるから 0=α²-3a-4 よって (a+1)(a-4)=0 したがって ゆえに a=-1,4 f(x)=2x-3;α=-1,4 (2) Sef(t) dt=x3xから df(t)dt=f(x) dx SSf(t)dt=0 Sof(t)dt=-x+3x ②の両辺をxで微分すると Ja すなわち f(x)=-3x2+3 上端と下端を交換した ② で axSof(t)dt=-3x2+3 また,② で x=α とおくと, 左辺は0になるから ゆえに したがって 0=-a³+3a a(a²-3)=0 よって a=0, ±√3 f(x)=-3x2+3;a=0, ±√3 df (t)dt=flt としてもよい

①式が②式となる理由がわからないです😭3はどこに消えたのですか？

E 92 極値をもつための条件 270 関数f(x)=x+3(a-1)x2+3(a+1)x+2 が極値をもつよう なαの値の範囲を求めよ. 精講 極値をもつ状態の1例として, 89を見てください。 増減表の一番 上の欄にxの値が2つでてきています。これが3次関数が極値をも っている状態です。いいかえると、f'(x)=0 が異なる2つの実数 解をもてばよいということです。 解答 f'(x)=3x²+6(a-1)+3(a+1)=3{z+2(a-1)x+(a+1)} よって、f(x) が極値をもつ条件は, r'+2(a-1)x+(a+1)=が異なる2つの実数解をもつことである. ② (a-1)-(a+1)=q-3a=a(a-3) 判別式をDとすると であるからα(a-3)>0より <D> が必要十分 ar a <0,3<a たとえば a=0 のとき 参考 I 771 (f'(x) =0 が重解をもつとき) f'(x) + 増減は右表のようになり, f(x) 7 103 + 極値をもっていません. だから, 極値をもたない条件は, D≦0 です. HURHUT

写真2枚目の私の解答のどこが間違っているのか教えてください。 答えは写真3枚目です。

2-5 xの2次関数f(x)=-x2-2ax+2の 0≦x≦2における最大値を M (α) 最小値を m (a) とする。 M (a) およびm (a) を求めよ。

F(x)=g(x)-f(x)にする理由って、ただx²の係数を正にした方がやりやすいからですか？？ 私のやり方でもいいですか💦

練習 2つの2次関数f(x)=x2+2kx+2,g(x)=3x²+4x+3がある。 次の条件が成り立つような定数 131 んの値の範囲を求めよ。 (1) すべての実数xに対してf(x)<g(x)が成り立つ。 (2) ある実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つ。 F(x)=g(x)-f(x) とすると F(x)=(3x2+4x+3)-(x2+2kx+2)=2x2-2(k-2)x+1 k-2\2k2-4k+2 = x 2 2 (1) すべての実数xに対してf(x)<g(x)が成り立つことは すべての実数xに対してF(x)>0, すなわち 0> (1 [F(x) の最小値] > 0 が成り立つことと同じである。 F(x)=g(x)-f(x) と するのは,F(x) の2次 の係数を正にするため。 別解 2次方程式 F(x)=0の判別式をD とすると >(1)(22/2={(k-2)}-2・1 5308-x=k²-4k+2 (1) [F(x) の最小値] > 0 D F(x)はx= k-2 k²-4k+2 のとき最小値 - をとるから =k2-4k+2 ] 2 2 k2-4k+2 >O 0-1+18- 2 の代わりに, D<0とし て進める。 ゆえに k2-4k+2<0 0=8+x k2-4k+2=0を解くと k=-(-2)±√(-2)2-1・2=2±√2 よって, 求めるkの値の範囲は (2) [F(x)の最小値] << 0 0=(I+x) の代わりに, D>0 とし 進める 2-√2 <k<2+√2 (2)ある実数x に対してf(x)>g(x)が成り立つことは, S- ある実数xに対してF(x) < 0, すなわち [F(x) の最小値]<0 が成り立つことと同じである。 a0=(0) k2-4k+2 0-(Ex)x Jot よって <0 2 ゆえに k2-4k+2>0 ←k-4k+2=0の解は よって, 求めるんの値の範囲は k<2-√2,2+√2 <k (1)で求めた。

数学　極限 ⑵で、接戦の方程式までは求められましたが、それ以降が分からないので教えていただきたいです。 赤線のところのg（t）＝t/1-log t はどこから出てきたのでしょうか？

X 関数f(x) = logx (x>1)について,次の問いに答えよ。 →00 10gx =∞を用いてもよい。 ただし、必要ならば limx (1) y=f(x)の増減,グラフの凹凸を調べ, グラフの概形を描け。 (2)x軸上の点P(a, 0)を通り曲線y=f(x)に接する直線が, 2本引けるよ うに, αの値の範囲を定めよ。 解答 (1) 解説参照 (2) a<- e²

数学　微分 ⑴の赤線のところで、limx→1 f(x)が∞になるのはなぜですか？ また、グラフにx=1のグラフも書かれていますが、ｆ（x）のグラフを描いただけでは解答として間違いになりますか？

例題 9 x 関数f(x) = 10gx (x>1)について,次の問いに答えよ。 ただし、必要ならば limx logx = =∞を用いてもよい。 00 (1) y=f(x)の増減,グラフの凹凸を調べ,グラフの概形を描け。 (2)x軸上の点P(a, 0)を通り曲線y=f(x)に接する直線が, 2本引けるよ うに,αの値の範囲を定めよ。 解答 (1) 解説参照 (2) a<- e² 解説 (1) f(x)= logx-1 (logx)2 x f'(x) = 30 = f'(x) f'(x) f(x) 1/12 (logx)2-2(10gx) 12/17 (logx-1) 2-logx x(logx)3 1 (logx)4 2 +0 - e LAA 0 + + + + e² 0 + +7 • +

数学　極限 ⑶の求め方が分からないので教えていただきたいです。 lim(1+cosx)=＋0だとなぜこの答えになるのでしょうか。 また、0の前に+がつくのはなぜですか？

COSX 関数f(x) = 1 + cost 例題 7 (<x<π)について,次の問いに答えよ。 (1) f(x) の極値を求めよ。 (2) 曲線y=f(x)の凹凸を調べよ。 (3) lim f(x) および limo f(x) を求めて, グラフの概形をかけ。 0+411* 0-2x 解答 (1) x = 0 のとき,極大値 12 (2) 常に上に凸 (3) _limf(x) = limf(x)=-∞ で,グラフは解説参照 x-x+0 xx

数学　微分 ⑵でｙ’’を🟦の形にする手順を教えていただきたいです。 また、自分で途中まで解いた際には、赤線のところが＋になったのですが、どうしたら-になるのでしょうか…？

COSX 関数f(x) = 1 + cost 例題 7 (<x<π)について,次の問いに答えよ。 (1) f(x)の極値を求めよ。 (2) 曲線y=f(x)の凹凸を調べよ。 (3) x+0 lim f(x) および limo f(x) を求めて,グラフの概形をかけ。 xx -0 解答 (1)x=0 のとき,極大値 12 (2)常に上に凸 (3) x-x+0 xπ-0 lim f(x) = limf(x)=-∞ で, グラフは解説参照 解説 (1)y' = – sinx(1+ cost) + cosxsinx - sinx (1+cosx)? (1+cosx)? y'=0より, sinx=0で,π<x< " からx=0 x=0のとき,y=- - 1/1 2 -<x<0ではy'>0,0<x<π では y'<0