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基本 例題 183 分散と平均値の関係
ある集団はAとBの2つのグループで構成さ
れている。 データを集計したところ,それぞれ
のグループの個数, 平均値, 分散は右の表のよ
うになった。このとき, 集団全体の平均値と分散を求めよ。
00000
グループ 個数 平均値分散
A
20
16
24
B
60
12
28
[立命館大]
基本182
【指針|
データ X1,X2,......, Xの平均値をx,分散を x2 とすると,
(A) s²x²-(x)
が成り立つ。公式を利用して まず, それぞれのデータの2乗の総和を求め, 再度、公
式を適用すれば,集団全体の分散は求められる。
この方針で求める際, それぞれのデータの値を文字で表すと考えやすい。下の解答で
は,A,Bのデータの値をそれぞれ X1,X2, ......, X20iy1,y2, ......,
・, y6o として考え
ている。なお、慣れてきたら,データの値を文字などで表さずに,別解 のようにして
求めてもよい。
20×16 +60×12
集団全体の平均値は
=13
20+60
解答
集団全体の総和は20×16 +60×12
Aの変量をxとし, データの値を x, x2, ・・・・・・, X20 とする。
また,Bの変量をyとし, データの値を y1,y2, ......, y6o とする。
x, yのデータの平均値をそれぞれx,yとし,分散をそれぞれ sx, sy2 とする。
2=x(x)より、x='+(x)であるから
x²+x2+......+X202=20×(24+162)=160×35
sy2=y-y)より, y'=s,' + (v)2 であるから
X
√x² = = = (x²² + x²² + ··· + x20”)
160と35
20
y2+y"++ywo²=60×(28+12%)=240×43 どのように計算したら
よって、集団全体の分散は
1
(x²+x22+.
20+60
でてくるのですが
+x202+yi2+y22++y6o)-132
160×35+240×43
また、どうも
今のまば13
計算しないのですか?
=
80
-169=30
=13
別解 集団全体の平均値は
20×16 +60×12
20+60
Aのデータの2乗の平均値は24+16°であり、Bのデータの2乗の平均値は
28+122 であるから,集団全体の分散は
20×(24+162)+60×(28+122)
20+60
160×35 +240×43
-132=-
-169=30
80
