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数学 高校生

107. n>0,m>0よりm-n>0という書き方は問題ないですか? また、m-n≧1というのは m,nはともに自然数だからm+n,m-nは自然数。 自然数×自然数=40(自然数)になるとき m-nは1以上でないと 自然数×自然数は自然数にならないからですか? (わかりやす... 続きを読む

107 √2次式の値が自然数となる条件 n²+40 が自然数となるような自然数n をすべて求めよ。 3 重要 例題 指針> √n²+40= よって ここで, A,B,Cが整数のとき, ABCならば A,BはCの約数 を利用して, ① を満たす整数m+n, m-nの組を考える。 (は自然数)とおき,両辺を平方して整理すると²-n²=40 (m+n) (m-n)=40 ・① このとき,0,n>0より+n>0であるから,①が満たされるときm-n>0 更に,m+n>m-nであることを利用して,組の絞り込みを効率化するとよい。 CHART 整数の問題 (積)=(整数)の形を導き出す 1 - (2数の積)=(整数)の形。 解答 ²+40mmは自然数) とおくと n<m 平方してn²+40=m² ゆえに (m+n) (m-n)=40 mnは自然数であるから, m+n, m-nも自然数であり, 40の約数である。 また,m+n>m-n≧1であるから ① より [m+n=40 [m+n=20 m-n=1 > 一致す ... m+n=10 m+n=8 m-n=5 m-n=2'lm-n=4' 41 13 3 解は順に(m,n)=(1/2,228) (11, 9), (7,3), 39), (22.2) したがって、求めるnの値は n=9, 3 <<n=√√n² <√n² + 40 =m ①m²-n²=40 <n>0から m+n>m-n <m+n=a,m-n=bとす ると a+b 2 a-b 2 <m n が分数の組は不適。 m= n= 検討 積がある整数になる2整数の組の求め方 上の解答の①のように、積) = (整数)の形を導く 1つである。(積)=(整数)の形ができれば、指針の 答えにたどりつくことができる。 また、上の解答では、積が 40 となるような2つ の自然数の組を調べる必要があるが, そのような組 は、右の で示された, 2数を選ぶと決まる。 例えば、 140 に対して (1,40) と (40, 1) の2組 ある。 ちなみに, 「(積が40となる) 2つの整数の組」 が決まるから、条件を満たす組は全部で4×2=8 (組) という条件の場合は、負の場合も考える必要がある ため、組の数は倍 (16組) になる。 しかし、上の解答では, る。 なお、整数α bに対し (a+b)(a-b) = 26 (偶数) であるから, a+b と α-bの偶奇は そのことを利用すると, 上の解答の の組は省くことができて, 2組に絞られるか ことは,整数の問題における有効な方法の を利用することで,値の候補を絞り込み, 40 の正の約数 4023・5 から (3+1)(1+1)=8(個) 1,2,4,5,8,10, 20, 40 を利用することで, (m+n,m-n) の組を4つに絞る工夫をしてい 473 4章 17 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数 る。 であ であ 1, n- 音数 あ あ った 数 こ ① + PN >

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物理 高校生

なぜグラフの直線と横軸との交点が限界振動数になるのでしょうか?

リード C 基本例題 68 光電効果 図1は光電効果を調べる装置で, 光を金属面に当て 光 飛び出した光電子を電極Pで捕獲すると, 回路に電流が 流れる。 このときPの電位がKより Vo〔V〕 以上低くな ると,光電子はPに達する前に押しもどされ,電流が0 になる。 光の振動数 [Hz] と阻止電圧 Vo [V] の関係を 調べたら図2のようになった。 光の速さc=3.0×10° m/s, 電子の電気量-e=-1.6×10-19C とする。 (1) この光電管の限界波長 入。 (光電効果が起こる光のう ち最も長い波長) を求めよ。 (2) 金属Kの仕事関数 W は何Jか。 (3) プランク定数んは何J's か。 = 1.8 4.5×1014 W=1.8×(1.6×10-19 ) ≒ 2.9×10-1J h= 第22章 電子と光 187 -0.5 =-1.8 -1.0 e (3) グラフはvが4.5×10 Hz 増加する間に 1.8V 増えるの 1.5 で,傾きは h e 1.8 VoA [V] 1.5 指針 光電効果の式 「Ko=hv-W」, 光電管の阻止電圧の式 「Ko = evo」 より, だから。図2は傾き , Vo切片-1 h W eVo=hv-W, Vo=hy- W e e e 解答 (1) グラフの直線と横軸との交点が限界振動数vo [Hz] である。 [Vo[V] C 3.0×10° 「c=vodo」の関係より 入。 == Vo 4.5×1014 (2) グラフより Vo軸の切片は1.8V なので W 4.5 1.0 0.5 0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 ≒ 6.7×107m 1.0 20.5 0 319,320 @THE 68 V 24 (x10¹4Hz) 4.5 図2 -10-14×(1.6×10-18)=6.4×10-34J-S の直線である。 傾き 14.5 7 ン [×10 Hz] W e 切片- -1.8 322

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