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戦略例題 12 一般化による数学的帰納法の利用目
a ≧ 1,6≧1, c
1,c,d のとき,次の不等式を証明せよ。然自分で
8(abcd + 1) ≧ (1 + α)(1+b)(1+c)(1+d)
思考プロセス
まず,戦略例題11のように, 文字を減らそうと考えるが,
4文字のときの8は, 2×4とみるか? 24-1 とみるか?
noin
文字を減らす
1文字の場合··· 1 (a+1) ≧ 1+α と考えられる。
L2×1ではなく, 21-1 = 2° = 1 とみる。
2文字の場合… 2 (ab+1) ≧ (1+α) (1+b) の証明を考えると
L22-12'=2
(左辺) (右辺)=ab-a-6+1
微分法と世界
文
(α-1)(6-1)≧00I=a+g
4文字の場合 (左辺)-(右辺)=(-1) (6-1) (c-1) (d-1) となりそう?
ところが,実際に ① を因数分解するのは大変。
しかも、 実際にはこのようには変形できない。
(α=1を①,② に代入すると,②=0 だが 1 ≠0となることからも分かる)
〔本解〕 一般化して考える。
文字の場合 2-1 (a1a2asan+1) ≧ (1+a) (1+a2) (1+αs) ... (1+α) を,
数学的帰納法を用いて示す。
Action » 具体数の場合で示しにくいときは,一般化することを考えよ
(別解) 式を分ける
(4文字) = (2文字) + (2文字)とみて
8{(ab)(cd)+1}≧{(1+α)(1+6)}{(1+c)(1+d)}
を示すことを考える。
7(土)している。
2文字の場合の2(ab+1) ≧ (1+α) (1+6)の利用を考える。
解 自然数nに対して, a, ≧1 (i = 1, 2, 3, ...,n) のとき
2-1 (arazasan+1)≧(1+α) (12) (1+αs)... (1+an)
が成り立つことを証明する。
[1] n=1のとき
(左辺)= α+1,(右辺)=1+α
(*)
(左辺)=(右辺)であり,(*)はn=1のとき成り立つ。
[2] n=k のとき,(*) が成り立つと仮定すると
2k-1 (a1a2a3ak+1)
≧ (1+aì)(1+α2) (1+αs)... (1+ak)
n=k+1 のとき
(左辺) (右辺)
= 2k (aayasakak+1 + 1)
不等式を一般化し,数学
的帰納法を利用する。
