-
![]()
例題 30
x,yの2次式の因数分解
⑩「★★
(1) yについての2次式9y²-12y+164k が完全平方式となるような定
数kの値を求めよ。
思考プロセス
(2) x2+xy-2y2+4x+5y+hがx,yの1次式の積となるように定数k
1
の値を定め,x,yの1次式の積の形で表せ。因の左
minⓘ
完全平方式··· (多項式) の形で表すことができる多項式
(2)
Action>>
1つの文字に着目
xに着目すると
xについての方程式
の解x=y
= (x+ Oy+△)(x+y+∇ ) • (*) と因数分解したい
2次式の因数分解は, 2次方程式の解を利用せよ
解 (1) 9y2-12y+16-4k=0 の判別式をDとおくと,左辺
が完全平方式となるための条件は D=0
D
2次方程式
よって
|=x2+(y+4)x- (2y2-5y-k)
=(xy
y
と因数分解される。
(*) のようになるのは、 どのような解をもつときか?
=(-6)2-9(16-4k) = 36k-108
36k-1080 より k = 3
185 \ +1−
10
(2) x2+xy-2y2+4x+5y+kh=0 とおいて, xについて
xについて解くと
ただし
x
整理すると x2+(y+4)x- (2²-5y-k) = 0°+ x) (S-x) = 8-4 (E)
(8+66+6) (6-
-y-4±√D₁
3>
0 = 1 + xS+ ³x
x=
-y-4-√D₁
2
S
これがx,yの1次式の積となるとき, D1 はyについて
の完全平方式である。
このとき (1) より
h=3のとき, D1=9y2-12y+4= (3y-2) より
x2+(y+4)x-(2y2-5y-3) 台
)(x-yの式)
2+8+1)-x} = 4+28+²x Jei
D1 = (y + 4)2 + 4(2y2-5y-k) 1+x)=D, はこのxについての
2次方程式の判別式であ
= 9y2 - 12y+16-4k+x)(x)=8-る。
x2+(y+4)x - (2y2-5y-k)
=y−4+√D₁
2
水
k=3
__-y-4+ (3y-2)]]
2}{x-
x-
2
={x-(y-3)}{x-(-2y-1)}
=(x-y+3)(x+2y+1)
ay 2 + by + c が完全平方式
となる。
⇔ay2 +by+c = 0 が
重解をもつ
⇔ 判別式 D=0
の
-y-4-(3y-2)
2
max2+bx+c=0の解を
α, βとすると
ax²+bx+c
=a(x-a)(x-β)
k=3のとき, D1 は
9y2-12y + 16-4k
=9y2 -12y+4
2次方程式
練習 30 15x2+2xy-y+2kx+kがx,yの1次式の積となるように定数kの値を定
め,x,yの1次式の積の形で表せ。 ただし, 0 とする。
(1)
p.67 問題30
59
