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例題 74 直線と平面のなす角
x+3
空間に直線 Z:
y+3
5
3
★★★★
と平面 α:5x+4ay+3z = -2 がある。
(1)直線と平面αが平行であるとき, αの値を求めよ。
(2)直線と平面αのなす角が30° のとき, αの値を求めよ。
(3)直線と平面αが平行でないとき, 平面αはαの値によらず直線lと
定点Pで交わることを示し, その点の座標を求めよ。
RLL
思考プロセス
見方を変える
-3 +Ha +DA (S)
例題73のように,平面 αと直線lの法線ベクトルのなす角を考えたいが,
直線の法線ベクトルは考えにくい。
(1)
SA
u
DA
直線と平面αのなす角
D
n
→>>
の方向ベクトル
LMを
a
←
\αの法線ベクトル
|のなす角を利用。
a
30%
u
(2) 法線ベクトルは, 向きが2通りある
n
(S
130°
ことに注意する。
a
n
(1)直線の方向ベクトルuは
平面の法線ベクトルは
直線と平面αが平行のとき
u =
Action» 直線と平面のなす角は, 方向ベクトルと法線ベクトルのなす角を利用せよ
5,3,-4) OF IN の交点を
N
n = (5, 4a, 3)
u_n
(-)=o
l/u, ain であるから
13
ゆえに、n= 12α+130 より a=
(2)直線と平面αのなす角が30° のとき,
12
32
llla ⇔uin
-3), D(m-6, 10が
T
とんのなす角0 (0° 0 180°)はま
または 120°
130°
30°
u⚫n
12a + 13
☆☆☆☆
ここで
coso=
内
un
50/16a2+34
内は2通りある。
1
12a + 13
32
よって、土
=
を解くと a=1,
2
10/8a² + 17
7
AD-b
両辺を2乗して分母をは
らう。
(3)直線を媒介変数t を用いて表すと
x=5t-3, y = 3t-3, z = -4t ... ①
25(8a2+17) (12a+13)²
7a2 39a+32 = 0
(a-1)(7a-32) = 0
①を平面 αの方程式に代入すると
よってa=1,
5(5t-3)+4a(3t-3)+3(-4t)=-2
32
7
これを整理すると
(12a+13)(t-1)=0
わる
直線と平面 αは平行でないから
12a+130
1となり、これを① に代入すると P(2, 0, -4)
(1) より
αの値によらず点Pを通
