Drvanz
演習 例題
121 極値をとる値に関する無限級数の和
関数f(x) =ex sinx (x>0)について, f(x) が極大値をとるxの値を小さい方
から順に X1,X2,
00
また, f(x) を求めよ。
n=1
とすると, 数列{f(x)} は等比数列であることを示せ。
基本 112
極大値をとるxの値は,次のことを利用して求めるとよい。
f'(a)=0,f"(a)<0f(a)は極大値(p.177 基本事項)
指針
n=1
つまり、f'(x)=0の解を求め、その解のうちf" (x) < 0) を満たすものをxとする。
また、無限等比級数 Zarm-l (a≠0) は|r|<1のとき収束し,和は
a
1-r
207
解答
さ
f(x)=-e*sinx+e*cosx=-e*(sinx-cosx)
=-√2e *sin(x-4)
f"(x)=e-*(sinx-cosx)−ex(cosx+sinx)
=-2xcosx
f'(x) =0 とすると
......
TRAH
1
y=ex
X2
OX1π
2π
3π
4π
-1-
y=-ex
sin(x-4)=0 (*) 20 (
π
(*)からx=
=kπ
x>0であるから
x= +kл (k=0, 1, ...)
4
1)"
以下では,n は自然数とする。
k=2n-1のとき cos(+)<O
OP
k=2(n-1)のとき cos (+) (+)
ゆえに,k=2(n-1) のとき極大値をとるから
•ƒ(+kx)>0.
0
18001
xn=
COST +2(n-1)π
π
4
このとき
==
f(x)=e-14+2(n-1rl sin{4+2(n-1)x=1/2e-f(e-2001
18
よって、f(x)は初項 /ef,公比 e-"の等比数列で
ある。公比e-2 は 0<e-2<1であるから、無限等比級数
分
Σ
n=1
f(x)は収束し、その和は
etx
00
Σ
n=1
2
f(x)=√1-0
e
-2π
√√2 (e-1)
( は整数)
YA
+(2n-1)π1
4
π
0
-1
1
10
++
4+
-1
+2(n-1)л
4
4章
17
1 関連発展問題
◄an=ar"-1
⇒ {an}は初項a, 公
比rの等比数列。
さいか]
