例題 5.2
tを実数とし,α, β を 2次方程式x 2-tx-1=0の2つの解とする. 自然数n
に対して, an = " + β” とおくとき,
(1) a3, a4 を tを用いて表せ.
(2) an+2
(3) an は係数が整数となるtのn次多項式として表されることを示せ.
(4) an を tの多項式として表したときのt"-2の係数を求めよ。 ただし,n≧3と
する.
を
(3)
an, an+1, tを用いて表せ.
「an は係数が整数となるtのn次多項式である」
がすべての自然数nに対して成り立つことを数学的帰納法を用いて示す
(I)n=1,2のとき,
{ a=t, az=t²+2
より,(*)は成り立つ.
(II)n=k,k+1 (k=1,2, 3, ･･･) のとき (*) が成り立つと仮定する. (2) より
ak+2= tak+1+ak
であり,帰納法の仮定により, tax はtの(k+2) 次式, aヶはk次式であり,ともに係数は整数
であるから, ak+2 は係数が整数であるtの (k+2)次多項式となり,n=k+2のときも(*)は成
り立つ。
₁1=8+0]
(I), (II) より , すべての自然数nに対して(*)は成り立つ.
